Создан заказ №1859655
23 марта 2017
Постановка задачи Составить программу решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения на интервале [a
Как заказчик описал требования к работе:
Нужен аспирант или преподаватель, чтобы помочь сделать решение задач по информатике, сроки очень сжатые. Отзовитесь, пожалуйста!
Фрагмент выполненной работы:
Постановка задачи
Составить программу решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения на интервале [a, b], используя метод конечных разностей. Решение найти с точностью ε=(b-a)/100.
x3y''+x3y'=-32;y1-y'1=1;y2-3y'2=2ln2-34
Сравнить полученное решение с аналитическим -1x-2lnx-0.5
Используя калькулятор, найти решение с точностью ε=b-a/4
Метод конечных разностей
Пусть на отрезке [a,b] требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами
удовлетворяющее следующим краевым условиям:
, ,
, .
Численное решение задачи состоит в нахождении приближённых значений y0, y1, …, yn искомого решения y(x) в точках x0, x1,…,xn. (работа была выполнена специалистами author24.ru) Точки x0, x1, …, xn называются узлами сетки. Используем равномерную сетку, образованную системой равноотстоящих узлов i=0, 1, 2, …, n. При этом x0=a, xn=b, h=(ba)/n. Величина h – шаг сетки.
Обозначим p(xi)=pi, q(xi)=qi, f(xi)=fi, y(xi)=yi, y(xi)=yi, y(xi)=yi. Аппроксимируем y(xi) и y(xi) в каждом внутреннем узле центральными разностными производными
, (1)
и на концах отрезка – односторонними производными
Подставляя эти формулы в уравнение, получаем разностную аппроксимацию исходной задачи:
(2)
Равенства (2) образуют систему n+1 линейных алгебраических уравнений c n+1 неизвестными y0, y1, …, yn. Таким образом, чтобы найти приближённое решение дифференциальной задачи необходимо решить эту систему.
Перепишем систему (2) следующим образом:
(3)
где
, , ,
, , , , ,
, , .
Матрица системы (3) трёхдиагональная
.
Поэтому для её решения применим специальный метод, называемый методом прогонки.
Решение системы (3) ищется в виде
.(4)
где ui и vi – прогоночные коэффициенты. Используя выражение для yi1 из (4), подставим это неизвестное в i-е уравнение системы
.
Получаем
, .
Сравнивая это соотношение с (4), выводим рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов ui и vi (прямая прогонка):
(5)
(при n=0). Очевидно, что yn=un. Все остальные неизвестные находим в обратном ходе прогонки по рекуррентной формуле (4), используя вычисленные значения для прогоночных коэффициентов (5).
Погрешность метода для z=y(x) можно представить в виде суммы
,
где значение k (порядка точности) равно 2, если с2=d2=0, или 1 в противном случае.
Решение:
Приведем уравнение к следующему виду
y''+y'=-32x3
Тогда px=1;qx=1;fx=-32x3
Из краевых условий можем говорить: a=1;b=2; c1=1;c2=-1;c=1;
d1=1;d2=-3;d=2ln2-34;
Возьмем n = 4 и найдем коэффициенты для прогонки
N X P Q F α
β
γ
φ
v
u
0 1 1 1 -1,5 0 1,25 -1 0.25 0.8 0.2
1 1,25 1 1 -0,768 0,875 -1,9375 1,125 -0.048 0.909091 0.180202
2 1,5 1 1 -0,444 0,875 -1,9375 1,125 -0.02778 0.985075 0.162388
3 1,75 1 1 -0,279 0,875 -1,9375 1,125 -0.01749 1.045967 0.148371
4 2 1 1 -0,1875 3 -2,75 0 0.159074 0 -0.73741
Из коэффициентов v и u можно найти решение уравнения и сравнить с точным
N Y Yточное ∆Y
0 0.015983 -1.5 1.515983
1 -0.23002 -1.74629 1.516266
2 -0.45125...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
20 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
24 марта 2017
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Постановка задачи
Составить программу решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения на интервале [a.jpg
2020-05-06 18:05
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
4
Положительно
Вежливая и внимательная автор.Не смотря на позднее время,все выполнила как и обещала.Благодарю.
Хочешь такую же работу?
300 ₽
