Создан заказ №1910901
19 апреля 2017
Канторовы множества положительной меры
Как заказчик описал требования к работе:
Нужен аспирант или преподаватель, чтобы помочь сделать реферат по высшей математике, сроки очень сжатые. Отзовитесь, пожалуйста!
Фрагмент выполненной работы:
Введение
Понятие меры множества является далеко идущим обобщением понятия длины отрезка. В простейшем случае задача состоит в том, чтобы дать определение длины не только для отрезков, но также и для более сложных точечных множеств, расположенных на прямой.
Задача определения длины множеств, или, как говорят еще, задача измерения множеств, весьма важна, так как она имеет существенное значение для обобщения понятия интеграла. (работа была выполнена специалистами Автор 24) Понятие меры множества применяется и в других вопросах теории функций, а также в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и т. д.
Немецкий математик Георг Кантор известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику. Его работа представляет большой философский интерес, о чём и сам Кантор прекрасно знал.
1 История разработки теории множеств
Сущность трудов Кантора хорошо известна: разработав то, что он назвал арифметикой трансфинитных чисел, он придал математическое содержание идее актуальной бесконечности. При этом он заложил основы теории абстрактных множеств и внёс существенный вклад в основание анализа и в изучение континуума вещественных чисел. Самое замечательное достижение Кантора состояло в доказательстве того, что не все бесконечные множества количественно эквивалентны, т.е. имеют одинаковую мощность, а потому их можно сравнивать друг с другом. Например, множество точек прямой и множество всех рациональных чисел являются бесконечными. Кантор сумел доказать, что мощность первого множества превосходит мощность второго.
Сначала Кантор воздерживался от введения трансфинитных чисел, считая, что идею актуальной бесконечности нельзя сформулировать непротиворечиво, а потому ей не место в строгой математике. Однако, по его собственному свидетельству, он вскоре преодолел своё «предубеждение» в отношении трансфинитных чисел, т.к понял, что без них нельзя построить теорию бесконечных множеств.
В 1870 г. Кантор доказал, что если функция непрерывна всюду на интервале, то её представление тригонометрическим рядом единственно. Его следующий шаг состоял в ослаблении требования непрерывности функции всюду на интервале. Предположим, например, что график аппроксимируемой функции представляет собой прямую, параллельную оси x, за исключением точки x = ½, в которой функция принимает значение 0 вместо 1. Кантор показал, что если условие сходимости в точке x = ½ и нарушается, то всё равно существует единственный тригонометрический ряд, который сходится к этой функции в остальных точках. То есть другого тригонометрического ряда, который мог бы аппроксимировать эту функцию, не существует. Далее Кантор легко распространил свой результат на функции, имеющие любое конечное число точек разрыва, которые он назвал исключительными точками.
В 1872 г. Кантор публикует работу, представляющую собой важнейшее открытие. Стремясь к более общей формулировке теоремы единственности, он доказал, что если исключительные точки распределены на оси x некоторым специальным образом, то их может быть и бесконечно много. Установить это можно было только на основе точного описания бесконечного множества исключительных точек. Однако для этого, как понимал Кантор, необходим более глубокий анализ континуума точек на оси x. Так, исследуя сходимость тригонометрических рядов, Кантор постепенно начинает сосредоточивать своё внимание на соотношении точек в континууме.
Кантор принял за аксиому, что всякой точке непрерывной линии соответствует некоторое число, которое он назвал действительным числом, чтобы отличить его от «мнимых» чисел, кратных √–1. Обратно, каждому действительному числу соответствует только одна точка прямой. Следовательно, проблема описания континуума точек прямой эквивалентна проблеме определения действительных чисел и исследованию их свойств. Статья Кантора, опубликованная в 1872 г., имела большое значение ещё и потому, что в ней было дано изложение этих свойств.
Основную трудность в теории действительных чисел представляют такие числа, как π и √2, не являющиеся рациональными. Кантор предположил, что всякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел. Например, число √2 можно представить бесконечной последовательностью рациональных чисел 1; 1,4; 1,41; ... . В соответствии с этим все иррациональные числа можно понимать как геометрические точки числовой прямой, т.е. так же как и рациональные числа.
Фактически Кантор назвал два множества эквивалентными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.
Используя принцип взаимно однозначного соответствия, Кантор показал, что свойство, которое Галилей рассматривал как парадоксальное, фактически является естественным свойством бесконечных множеств. Множество чётных чисел эквивалентно множеству всех целых положительных чисел, чётных и нечётных, вместе взятых, поскольку объединение в пары элементов каждого из этих множеств может быть осуществлено без опущения каких-либо элементов рассматриваемых множеств.(рис.1Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик воспользовался гарантией, чтобы исполнитель повысил уникальность работы
20 апреля 2017
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Канторовы множества положительной меры.docx
2019-03-22 21:35
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
4
Положительно
автор большой молодец и успел немного доработать мелкие придирки. ну а мне до 5 ки не хватило знаний
Хочешь такую же работу?
300 ₽
