Создан заказ №1980356
23 апреля 2017
Элементы теории чисел в школьном курсе математики
Как заказчик описал требования к работе:
Исследовать преподавание теории чисел в школах. В обычном классе и с уклоном на математику. ( По учебникам )
Теория и практика ( примеры, задачи )
Ссылаться на учебники. Использовать современные учебники.
Фрагмент выполненной работы:
Введение
Наука арифметика зародилась в глубочайшей античности, и считается древнейшим разделом математики. Научным обобщением арифметики является теория чисел. Интерес к теории чисел был высок, а знаниями, полученными в области теории чисел древними учеными, динамично пользуются и в наше время. В середине XX и XXI веков значительно изменилась роль теории чисел. Если в XVII –XIX веках теория чисел была красивейшим разделом математики, удостаивающим внимание лучших математиков того времени, таких как Лагранж, Эйлер, Ферма, Гаусс, Дирихле, Чебышев, то с приходом компьютеров теория чисел нашла значительное применение при обработке, передаче и защите информации, представимой в числовом виде. (работа была выполнена специалистами Автор 24)
Вопросы элементарной теории чисел входят в программу общего среднего образования. В школьном курсе математики рассматриваются следующие вопросы из теории чисел: понятие делимости, свойства делимости, простые числа, составные числа, теорема о делении с остатком и т.д. Так же в школьную программу вошли некоторые разделы теории чисел, ранее не изучающиеся, например: алгоритм Евклида и решение уравнений в целых числах.
Актуальность данной темы состоит в том, что в последние годы в вариантах ЕГЭ по математике появились задания с элементами теории чисел. Это задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учеников, претендующих на поступление в вузы с высокими требованиями к математической подготовке. Знаний, полученных в рамках школьной программы, недостаточно для решения данного типа заданий. Поэтому целесообразно изучение элементов теории чисел на межшкольном факультативе.
Целью исследования является изучение элементов теории чисел в школьном курсе математики.
Объект исследования – процесс обучения математике в средней общеобразовательной школе.
Предмет исследования – методические особенности преподавания элементов теории чисел на уроках математики.
Гипотеза исследования заключается в том, что данное исследование поможет обеспечить более углубленное изучение одного из разделов математики, а именно теории чисел, устранить расхождения в требованиях, предъявленных к подготовке выпускников в школе к единому государственному экзамену по математике, расширить возможности развития мыслительной деятельности учащихся.
В соответствии с целью, объектом, предметом и гипотезой обозначим задачи исследования:
Подобрать и изучить соответствующую теоретическую и методологическую литературу;
Рассмотреть основные теоретические основы из теории чисел;
Провести анализ содержания данной темы в различных школьных учебниках;
Рассмотреть особенности решения задач с элементами теории чисел ЕГЭ по математике.
Для решения задач, поставленных в работе, были использованы следующие методы:
анализ научно-методической, математической литературы и анализ школьных учебников по математике для 5-11 классов;
обобщение и систематизация теоретических и практических знаний.
Приложения теории чисел
В данном параграфе мы рассмотрим основные темы теории чисел, которым традиционно в школе уделяется меньше внимания, а также покажем некоторые специфические методы решения задач.
Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики
Определение 1. Пусть a и b - целые числа. Если существует целое число q, что a=b∙q, то говорят, что число a делится на число b.
При этом число a называют делимым, b - делителем, q - частным. Число a называют кратным числа b. [8]
Вместо фразы «a делится на b» часто используют запись a⋮b.
Определение 2. Натуральное число, имеющее ровно два различных делителя – само себя и единицу, - называется простым.
Определение 3. Целое число, имеющее больше двух различных делителей,называетсясоставным. Наименьшее простое число равно 2. Остальные простые числа являются нечётными. Согласно определению, число 1 – ни простое, ни составное.
Определение 4. Целые числа, не имеющие общих делителей, кроме 1, называются взаимно простыми.
Сформулируем основные свойства делимости на множестве натуральных чисел:
Свойство 1. Если a⋮c и c⋮a, то a⋮b.
Свойство 2. Если a⋮b и c⋮b, то (a±c)⋮b.
Свойство 3. Если a⋮b и c не делится на b, то (a±c) не делятся на c.
Свойство 4. Если a⋮b1 и c⋮b2, то ac⋮b1b2.
Свойство 5. Если a⋮b и c – любое натуральное число, то ac⋮bc.
Свойство6. Если целое число a делится на взаимно простые натуральные числа m и n, то a делится на из произведение mn.
Свойство 7. Если a⋮b и c⋮b, то для любых натуральных чисел n и k справедливо соотношение (an+ck)⋮b.
Свойство 8. Среди n последовательных чисел одно и только одно делится на n.
Пример 1. Проверить, что данное число является составным:
31483-11393.
Решение:
По формуле разности кубов a3-b3=a-ba2-ab+b2 получаем 31483-11393=3148-113931482-3148∙1139+11392 делится на 3148-1139=2009.
31483-11393 является составным.
Пример 2. Доказать, что число z=15n-8n+6∙36n+1 делится на 14 при любом натуральном значении числа n. [7]
Решение:
Воспользуемся следующими формулами:
an-bn=a-ban-1+an-2b+…+abn-2+bn-1;
a2n+1+b2n+1=a+ba2n+a2n-1b+…+ab2n-1+b2n.
15n-8n=15-8(15n-1+…+15∙8n-2+8n-1) делится на 7.
Третье слагаемое запишем как степень 6: 6∙36n=62n+1.
62n+1+1=6+1(62n-62n-1+…-6+1) делится на 7.
Так как z=(15n-8n)+(6∙36n+1) обе скобки делятся на 7, то z делится на 7.
Числа 15n+1, 8n и 6∙36n чётные, поэтому z делится на 2. Так как числа 2 и 7 взаимно простые, то z делится на 2∙7=14.(свойство 6)
Сформулируем ключевое для решения задач о делимости утверждение, известное как основная теорема арифметики.
Теорема 1. Любое натуральное число n>1, можно разложить в произведение простых чисел. Это разложение единственно, с точностью до порядка следования сомножителей. [21]
Как следствие, каждое натуральное число n единственным образом представимо в виде n=p1k1∙p2k2∙…∙pmkm, где p1<p2<…<pm - простые числа, k1,k2,…,km - некоторые натуральные числа. Такое представления числа n называется его каноническим разложением.
Например, 5880=2∙2∙2∙3∙5∙7∙7=23∙3∙5∙72.
Существует метод разложения натурального числа на множители, не требующий перебора простых множителей. Этот метод был предложен французским математиком Пьером Ферма.
Метод Ферма. Пусть n>3 - нечётное натуральное число. Будем прибавлять к нему последовательно нечётные числа 1, 3, 5, 7 и т. д., пока не получим квадрат некоторого числа h: n+1+3+5+7+…+2k-1=h2. Так как 1+3+5+7+…+2k-1=k2, то n=h2-k2=h-kh+k.
Пример 3. Разложить на множители число 3009.
Решение:
Само числа 3009 не является квадратом.
Будем прибавлять к 3009 последовательные нечётные числа до получения квадрата: 3009+1+3+5+7=3025=552, т.е.3009+42=552. Тем самым 3009=552-42=55-455+4=51∙59=3∙17∙59.
Ответ: 3009=3∙17∙59Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
500 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик воспользовался гарантией для внесения правок на основе комментариев преподавателя
26 апреля 2017
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Элементы теории чисел в школьном курсе математики.docx
2019-06-04 20:49
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
4.1
Положительно
Автор старался написать работу, но бывают такие темы где даже профессионалы делают ошибки.
Хочешь такую же работу?
300 ₽
