Создан заказ №2457724
22 ноября 2017
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 5 1 Сформулируйте определение ориентации векторного пространства
Как заказчик описал требования к работе:
Срочно решить контрольную работу по геометрии из 6 задач в двух вариантах. Все решения нужно подробно расписать.
Фрагмент выполненной работы:
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 5
1. Сформулируйте определение ориентации векторного пространства. Дайте определения скалярного, векторного, смешанного произведений векторов. В чём заключается геометрический смысл векторного и смешанного произведений векторов?
Ответ.
Все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.
Определение 1: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a1, a2, a3 называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от a1 к a2 и от a2 к a3 кажутся происходящими против часовой стрелки. (работа была выполнена специалистами author24.ru) Если повороты происходят по часовой стрелке, то тройка – левая. Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства. Положительными считаются правые тройки векторов.
Определение 2: Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число
a,b=a*b*cosφ, где φ-угол между заданными векторами.
Определение 3: Векторное произведение векторов aa1,a2,a3 и b(b1,b2,b3), заданных в ортонормированном базисе, является вектор, координаты которого можно найти как коэффициенты перед i, j, k соответственно:
a,b=ijka1a2a3b1b2b3=a2a3b2b3i-a1a3b1b3j+a1a2b1b2k
Определение 4: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов aa1,a2,a3, bb1,b2,b3 и c(c1,c2,c3) называется число <a,b,c>=a,b,c=a1a2a3b1b2b3c1c2c3.
Геометрический смысл векторного произведения: a,b=S, где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.
Геометрический смысл смешанного произведения: <a,b,c> =V, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c> =-V, если a,b,c– левая тройка. Здесь V – объём параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c.
2. Даны три вектора a, b, c, причём заданы длины векторов a, b, c, соответственно, /a/=2, /b/=4, /c/=11; вектор a перпендикулярен вектору c: ac; дано скалярное произведение векторов a, b: (a, b) = 5. Найдите численное значение выражения /a - c/2 + (a + b, a).
Решение.
Рассмотрим выражение a-c=a+-c. Это разность векторов или сумма вектора a и вектора, противоположного вектору c. Так как a⊥c, то a⊥(-c). Сумма векторов - треугольник. В нашем случае он прямоугольный и вектора a и-c являются катетами. Значит, найдём длину вектора a-c по теореме Пифагора: a-c=a2+-c2=4+121=125. Тогда a-c2=125.
Теперь рассмотрим выражение a+b. Эта сумма векторов. Также получается треугольник. Найдём угол между векторами a и b из определения скалярного произведения: a,b=a*b*cosφ =>5=2*4*cosφ => cosφ=58. Можем найти сумму векторов a и b по теореме косинусов:
|a+ b|=a2+b2-2*a*b*cosφ
a+ b=4+16-2*2*4*58=10
Чтобы найти скалярное произведение векторов a+ b и a, нужно ещё найти угол между ними, а точнее косинус этого угла (по определению: a+ b,a=a+ b*a*cosω). Снова воспользуемся теоремой косинусов, только для нахождения длины вектора b:
b2=a2+a+ b2-2*a*a+ b*cosω
cosω=-b2-a2-a+ b22*a*a+ b
cosω=-16-4-102*2*10=-1210=-1020
Тогда
a+ b,a=10*2*-1020=-1
Искомое выражение:
a-c2+a+ b,a=125+-1=124
Решение:
124
3. Даны два вектора a = i + j, b = j + k, где i, j, k - правый ортонормированный базис трехмерного векторного пространства. Найдите скалярное произведение и векторное произведение векторов a и b, косинус и синус угла между ними.
Решение.
Запишем координаты векторов: a1,1,0и b(0,1,1).
Скалярное произведение векторов aa1,a2,a3 и bb1,b2,b3 в ортонормированном базисе:
a,b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
a,b=1*0+1*1+0*1=1
По определению, векторное произведение векторов a1,1,0и b0,1,1:
a×b=ijk110011=1011i-1001j+1101k=i-j+k
Или вектор n=(1,-1,1).
Косинус угла найдём из определения скалярного произведения:
a,b=a*b*cosφ
Найдём длины векторов a=12+12+02=2 и b=02+12+12=2.
Тогда
cosφ=a,ba*b=> cosφ=12*2=12
φ=arccos12=π3
sinφ=sinπ3=32
4. Три точки относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат в трёхмерном евклидовом пространстве имеют координаты: A (1; 2; 0), B (0;3;4), C (-1; 0;1). Лежат ли эти точки на одной прямой? Если точки принадлежат одной прямой, то напишите её параметрические и канонические уравнения. Если точки не принадлежат одной прямой, то: а) Найдите площадь треугольника ABC; б) Найдите длину высоты AH треугольника ABC; в) Определите координаты центра тяжести (точки пересечения медиан) и центров вписанной (точка пересечения биссектрис) и описанной (точка пересечения срединных перпендикуляров) окружностей треугольника ABC. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Решение.
Рассмотрим векторы AB и AC:
AB=0-1,3-2,4-0=(-1,1,4)
AC=-1-1,0-2,1-0=(-2,-2,1)
Нельзя представить AB=α*AC, где α-любое число. Значит вектора AB и AC не коллинеарны (не параллельны), следовательно, точки A, B и C не лежат на одной прямой.
а) По геометрическому смыслу векторного произведения, площадь треугольника найдём как половина произведения параллелограмма, построенного на векторах AB и AC:
SABC=12AB, AC
По определению векторного произведения:
AB, AC=ijk-114-2-21=14-21i--14-21j+-11-2-2k=9i-7j+4k
Тогда
AB, AC=92+-72+42=81+49+16=146
И площадь:
SABC=12146=1462
б) Так как площадь треугольника нам известна, то можем найти и высоту.
SABC=12*BC*h=>h=2*SABCBC
Найдём координаты вектора BC и его длину:
BC=-1+0,0-3,1-4=(-1,-3,-3)
BC=-12+-32+-32=19
Тогда длина высоты:
h=2*146219=14619
в) Координаты центра тяжести треугольника с вершинами Aa1,a2,a3, Bb1,b2,b3 и C(c1,c2,c3) находятся как среднее арифметическое соответствующих координат вершин этого треугольника:
Na1+b1+c13,a2+b2+c23,a3+b3+c33
N1+0-13,2+3+03,0+4+13 или N0,53,53
Координаты точки пересечения биссектрис треугольника c вершинами Aa1,a2,a3, Bb1,b2,b3 и C(c1,c2,c3) находятся по формулам:
MBC*a1+AC*b1+AB*c1AB+BC+AC,BC*a2+AC*b2+AB*c2AB+BC+AC,BC*a3+AC*b3+AB*c3AB+BC+AC
AB=-12+12+42=18=32
AC=-22+-22+12=3
BC=19
M19*1+3*0+32*-119+3+32;19*2+3*3+32*019+3+32;19*0+3*4+32*119+3+32
или
M19-3219+3+32;219+919+3+32;12+3219+3+32
Найдём сразу радиус вписанной окружности. Нужно найти расстояние от точки M до любой прямой треугольника, например, AB. Составим уравнение прямой AB по двум точкам:
x-a1b1-a1=y-a2b2-a2=z-a3b3-a3
AB:x-1-1=y-21=z4
Тогда направляющий вектор прямой AB p(-1,1,4)...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
23 ноября 2017
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 5
1 Сформулируйте определение ориентации векторного пространства.docx
2019-10-23 13:50
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
4.9
Положительно
Автор выполнил свою работу на все 100%. Все грамотно, понятно, в срок. Всегда выходит на связь. Рекомендую.
Хочешь такую же работу?
300 ₽
