Создан заказ №2939596
28 апреля 2018
Методы оптимальных решений часть 2
Как заказчик описал требования к работе:
Контрольная работа 2
Примеры решения задач
Задача 1
Пример. Найти верхнюю и нижнюю цену игры. Определить, имеет ли
игра седловую точку?
0,5 0,6 0,8
0,9 0,7 0,8
0,7 0,6 0,6
Решение:
Найдем минимумы по строкам и максимумы по столбцам. Среди
минимумов найдем максимум max(0,5;0,7;0,6)=0,7 Минимксная стр
атегия А2.
Среди максимумов найдем минимум min(0,9;0,7;0,8)=0,7 Максиминная
стратегия В2.
В1 В2 В3
i
А1 0,5 0,6 0,8 0,5
А2 0,9 0,7 0,8 0,7
А3 0,7 0,6 0,6 0,6
j
0,9 0,7 0,8
0.7
Таким образом
0.7
, следовательно игра имеет седловую точку а22,
соответствующую стратегии А2В2 (решение игры) и чистая цена игры
0,7 .
Задача 2
Решение игры в смешанных стратегиях
Пример Игра "Поиск"
Игрок А может спрятаться в одном из убежишь I или II. Игрок В ищет
игрока А. Если найдет, то получает от А штраф $1, если
А1 - игрок А прячется в убежище I;
А2 - игрок А прячется в убежище II.
Стратегии игрока В:
В1 - игрок В ищет в убежище I;
В2 - игрок В ищет в убежище II.
Если игрок А в убежище I и В его обнаружил (стратегия A1B1), то платит
штраф $1 (а11=-1). Аналогично для стратегии A2B2 а22=-1.
Если А в убежище I, а В его не обнаружил (стратегия A1B2), то игрок А
получает $1 (а12=1). Аналогично для стратегии A2B1 а21=1.
Размерность игры 22.
Платежная матрица игра, матрица размером 22:
-1 1
1 -1
Седловой точки нет:
1, 1
Игра не имеет решения в чистых стратегиях.
Найдем решение в смешанных стратегиях.
Для игрока А цена игры
является средним выигрышем, в то время как
для игрока В цена игры
является средним проигрышем.
Припишем строкам платѐжной матрицы неизвестные вероятности p1 и p2
(вероятности выбора стратегий A1 и A2) соответственно:
2
1
p
p
. Умножим этот
столбец поэлементно на 1-й столбец платежной матрицы, и, сложив
произведения, получим математическое ожидание (среднее значение)
выигрыша первого игрока A, при условии, что второй игрок B следует первой
стратегии. Получим первое уравнение системы. Теперь умножим этот столбец
2
1
p
p
поэлементно на 2-й столбец платежной матрицы, и, сложив произведения,
получим математическое ожидание (среднее значение) выигрыша первого
игрока A, при условии, что второй игрок B следует второй стратегии.
Тогда система уравнений для поиска смешанных стратегий игрока А
примет вид:
1
1 1
( 1) 1
*
2
*
1
*
2
*
1
*
2
*
1
p p
p p
p p
Для получения системы уравнений игрока В припишем столбцам
платѐжной матрицы неизвестные вероятности q1 и q2 (вероятности выбора
стратегий B1 и В2) соответственно:
1 2 q , q
. Умножим эту строку поэлементно
на 1-ю строку платежной матрицы, и, сложив произведения, получим
математическое ожидание (среднее значение) проигрыша второго игрока В, при
условии, что первый игрок А следует первой стратегии. Получим первое
уравнение системы. Теперь умножим эту строку
1 2 q , q
поэлементно на 2-ю
строку платежной матрицы, и, сложив произведения, получим математическое
ожидание (среднее значение) проигрыша второго игрока В, при условии, что
первый игрок А следует второй стратегии
1
1 1
( 1) 1
*
2
*
1
*
2
*
1
*
2
*
1
q q
q q
q q
Решая эти системы, получаем
1/ 2, 0
*
2
*
1
*
2
*
p1 p q q
Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том,
чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое
из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средней выигрыш равен 0.
Задача 3
Принятие решений в условиях неопределенности
Пример.
Принятие решения по выбору электростанции для строительства.
Необходимо выбрать проект электростанции.
Возможно строительство электростанций по четырем типам проектов: А1
-тепловые, А2 - приплотинные, А3 - бесшлюзовые, А4 - шлюзовые.
Последствия строительства и эксплуатации электростанции каждого типа
зависят от ряда неопределенных факторов, которые можно представить в виде
различных состояний среды. Допустим, можно выделить четыре сочетания
различных факторов, определяющих четыре состояния среды В1, В2, В3, В4.
Экономическая эффективность электростанции, выраженная как процент
прироста доходов в течение одного года эксплуатации электростанции, зависит
как от типа электростанции, так и от состояния среды и задана матрицей
Типы
электростанций
Состояние среды
В1 В2 В3 В4
А1 5 2 8 4
А2 2 3 4 12
А3 8 5 3 10
А4 1 4 2 8
1). Определим альтернативу по критерию Вальда
max(min ) max( 2,2,3,1) 3,
ij i j
W a
следует строить бесшлюзовую электростанцию.
2). Теперь сделаем выбор по критерию Сэвиджа. Построим матрицу
рисков:
4 4
7 1 6 4
0 0 5 2
6 2 4 0
3 3 0 8
R
В соответствии с критерием минимизации максимальных рисков
Сэвиджа, получим
min max min(8,6,5,7) 5.
ij i j
r
Тогда при использовании критерия Сэвиджа, оптимальным является
строить бесшлюзовую электростанцию.
3). Сделаем оценку по критерию Гурвица. Предположим, .
2
1
max( min (1 )max ) max(5,7,6.5,4.5) 7,
ij j
ij i j
a a
Откуда следует, что надо принять решение о строительстве
приплотинной электростанции.
4). Если принять известным распределение вероятностей для различных
состояний природы, например, считать эти состояния равновероятностными по
критерию Лапласа:
,
4
1
p1 p2 p3 p4
то для принятия решения следует найти
математические ожидания выигрыша:
,
4
19
4
1
4
4
1
8
4
1
2
4
1 M1 5
,
4
21
4
1
12
4
1
4
4
1
3
4
1 M2 2
,
4
26
4
1
10
4
1
3
4
1
5
4
1 M3 8
.
4
15
4
1
8
4
1
2
4
1
4
4
1 M4 1
Так как максимальное значение имеет М3, то следует строить
бесшлюзовую электростанцию.
Построим итоговую таблицу.
Виды
электростанций
Критерии
Вальда Сэвиджа Гурвица Лапласа
А1 тепловые
А2 приплотинные +
А3 бесшлюзовые + + +
А4 шлюзовые
Вывод:
Применение трех критериев - Вальда, Сэвиджа и Лапласа
предполагают более выгодным строительство бесшлюзовой
электростанции, один критерий за приплотинную электростанцию.
Принимаем решение строить бесшлюзовую электростанцию.
Варианты индивидуальных заданий
Контрольная работа выполняется по вариантам. Выберите вариант в
соответствии с первой буквой Вашей фамилии:
Вариант 1 – для студентов (фамилии с А до Д)
Вариант 2 – для студентов (фамилии с Е до К)
Вариант 3 – для студентов (фамилии с Л до Р)
Вариант 4 – для студентов (фамилии с С до Ц)
Вариант 5 – для студентов (фамилии с Ч до Я)
Вариант 1
Ситуация 1
Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если возможно, то и седловую
точку
1 3 7 9
-2 0 10 -3
8 -10 7 4
3 5 8 10
Ситуация 2
Найти оптимальные решения игроков в смешанных стратегиях:
B1 B2
A1 6 9
A2 7 4
Ситуация 3
Телефонная компания должна выбрать стратегию по предоставлению своих
услуг таким образом, чтобы удовлетворить спрос своих клиентов на
планируемый период.
Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень возможностей
кампании. В таблице приведены возможные затраты на развитие телефонных
услуг.
Какую стратегию выбрать телефонной кампании?
Варианты
предоставления
услуг
Варианты спроса на телефонные услуги
S1 S2 S3 S4
R1 7 10 18 22
R2 9 6 8 25
R3 25 18 16 21
R4 24 22 20 26
Вариант 2
Ситуация 1
Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если возможно, то и
седловую точку
6 2 8 7
9 4 8 5
5 3 7 4
Ситуация 2
Найти оптимальные решения игроков в смешанных стратегиях:
B1 B2
A1 4 1
A2 2 4
Ситуация 3
На рынке представлены модели летних шин для автомобиля. Характеристики
шин, учитывая тормозной путь, надежность управления на прямой и на
поворотах, поперечное сцепление, цену и др., представлены следующими
частными критериями.
Необходимо выбрать модель шин.
Модели шин Эксперты
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Barum
Bravurus 9 9 8 9 8 8 7 7 6 9
Continental PC 9 8 8 10 10 10 10 9 8 9
Danlop SP 8 8 7 6 6 6 9 8 8 5
Goodyear EV 9 9 10 10 10 9 7 8 10 8
Michelin
Energy 9 7 6 9 8 7 9 9 10 7
Nokian NRH2 8 8 7 10 9 7 9 9 8 6
Pirelli P6 10 8 8 8 9 10 8 10 10 9
Вариант 3
Ситуация 1
Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если возможно, то и
седловую точку
2 5 4 12 6
6 11 9 8 7
3 3 2 0 1
Ситуация 2
Найти оптимальные решения игроков в смешанных стратегиях:
B1 B2
A1 2 7
A2 4 3
Ситуация 3
Эксперты оценили по 20-балльной шкале степень риска проезда на 7 видах
транспорта.
По данным экспертных оценок выявить самые безопасные виды
транспорта.
Для критерия Гурвица взять α=0,4
Вид транспорта Эксперты
1 2 3 4 5 6
Воздушный 9 5 10 7 9 8
ж/д 5 5 6 7 5 4
Водный 8 7 11 7 9 6
Автомобильный 15 12 13 10 12 14
Мотоцикл 19 15 14 8 10 12
Велосипед 5 14 7 7 7 6
Метро 10 8 9 7 5 11
Вариант 4
Ситуация 1
Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если возможно, то и
седловую точку
111 99 88 77
33 44 55 66
22 11 33 55
Ситуация 2
Найти оптимальные решения игроков в смешанных стратегиях:
B1 B2
A1 3 5
A2 8 2
Ситуация 3
В детский сад заказывают наборы подарков на Новый год. При выборе фабрики
руководствуются экспертными оценками о стоимости подарков.
С какой фабрикой следует заключить договор на поставку подарков,
руководствуясь минимальной стоимостью? Для критерия Гурвица взять
α=0,5
Фабрика Экспертные оценки
1 2 3 4 5 6
№1 20 35 18 15 21 16
№2 25 24 18 10 24 15
№3 15 28 20 12 19 18
№4 9 21 22 18 20 17
№5 18 26 20 20 15 22
Вариант 5
Ситуация 1
Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если возможно, то и
седловую точку
1 0 -2 0 4
4 5 8 11 6
3 3 -3 -2 0
Ситуация 2
Найти оптимальные решения игроков в смешанных стратегиях:
B1 B2
A1 10 11
A2 15 4
Ситуация 3
Автомобильная компания планирует вопрос о поставках автомобилей на рынок.
Составлена смета расходов на закупку автомобилей в квартал и рассчитан
ожидаемый доход в зависимости от удовлетворения автолюбителей. В
зависимости от принятого решения – покупки автомобилей в квартал и
величины прогнозируемого спроса на автомобили составлена таблица
ежегодных финансовых результатов компании (доход, усл.ед.). Для критерия
Гурвица взять α=0,3
Определите действия компании для максимизации прибыли
Количество
автомашин,
продаваемых
в квартал
Оценка прогнозируемого спроса
10 20 30 40 50 60
20 200 25 200 150 300 280
30 210 240 240 180 250 270
40 190 300 210 200 250 330
50 170 320 150 170 200 290
60 150 180 120 100 210 23
подробнее
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
29 апреля 2018
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Методы оптимальных решений часть 2.docx
2019-04-01 18:16
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Приятный по общению автор. Выполнил работу качественно и раньше положенного срока. Всем советую!)
Хочешь такую же работу?
300 ₽
