Создан заказ №3207771
30 сентября 2018
В некоторой точке тела в декартовой ортогональной системе координат тензор напряжений задан своими компонентами (в паскалях)
Как заказчик описал требования к работе:
Срочно нужно написать решение задач по механике ко вторнику. Список требований в файле.
Фрагмент выполненной работы:
В некоторой точке тела в декартовой ортогональной системе координат тензор напряжений задан своими компонентами (в паскалях):
σij=8 7 17 2 41 4 0
Для площадки с нормалью n1= 1/3, п2 = 2/3, п3 = - 2/3 , найти компоненты вектора σij, а также величины касательного σпt , и нормального σпп напряжений. Найти угол между σnи n. Опрелить главное направление и главное значение напряжений. Построить круги Мора.
Решение:
Выпишем компоненты напряжений из заданного тензора
σij=8 7 17 2 41 4 0=σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz
σx=8 Па; σу=2 Па; σz=0 Па;
τxу=τуx=7 Па; τxz=τzx=1Па; τуz=τzу=4Па;
Проверим, является ли вектор нормали единичным, в противном случае его необходимо нормировать:
n=(13)2+(23)2+(-23)2=1
n=1323-23
Найдем вектор напряжения:
tn=σijn=8 7 17 2 41 4 0∙1323-23=203 1 3
Нормальное напряжение находится по формуле
σn=(tn)т∙n=203 1 3∙1323-23=0,889 Па
Результирующее напряжение равно
tn=(203)2+1+32=7,378 Па
Касательное напряжение равно
τn=tn2-(σn)2=7,378 2-0,8892=7,32 Па
Угол θ между вектором напряжения и нормалью определим, воспользовавшись формулой скалярного произведения
cosθ=σn∙nσn∙n=203∙13+123-323(203)2+1+32=0,120
θ=arccos(0,12)=83,08o
Вычисляем инварианты напряжённого состояния
I1=σx+σy+ σz=8+2+0=10 МПа
I2=σy τyzτzy σz+σx τxzτxz σz+σx τxyτxy σy=2 44 0+8 11 0+8 77 2=
=-16-1+16-49=-50 Па2
I3=8 7 17 2 41 4 0=8∙2∙0-4∙4-7∙7∙0-4∙1+1∙7∙4-2∙1=
=-74 Па3
Таким образом, можно сделать вывод, что данное напряженное состояние является трехосным.
Составляем кубическое уравнение
σ3-I1σ2+I2σ-I3=0
Решим кубическое уравнение, для чего рассмотрим функцию
fσ=σ3-I1σ2+I2σ-I3=σ3-10∙σ2-50∙σ+74
Графически решим уравнение fσ=0
Учитывая, что в соответствии с обозначениями главных напряжений должно выполняться соотношение σ1 σ2 σ3, получим
σ1=13,33 Па;σ2=1,22 Па;σ3=-4,55 Па;
Для проверки правильности вычислений определим значения инвариантов тензора напряжений по формулам
I1=σ1+σ2+σ3=13,33+1,22-4,55=10 Па
I2=σ2 00 σ3+σ1 00 σ3+σ1 00 σ2=1,22 00-4,55+13,33 00-4,55+13,33 00 1,22=
=1,22∙-4,55+13,33∙-4,55+13,33∙1,22=-49,94 Па2
I3=13,33 0 00 1,22 00 -0-4,55=13,33∙1,22∙-4,55=-74 Па3
Определим направляющие косинусы li, mi, ni (i = 1,2,3) нормалей к главным площадкам с помощью формул
Для первой главной площадки (i = 1) получим
Δ11=-σу-σ1∙τzx+τxу∙τzу=-2-13,33∙1+7∙4=39,33 Па
Δ21=-σx-σ1∙τyz+τxу∙τzx=-8-13,33∙4+7∙1=12,33 Па
Δ1=σx-σ1∙σу-σ1-τxу2=8-13,33∙2-13,33-72=11,39 Па
D1=Δ112+Δ212+Δ12=39,332+12,332+11,392=42,76 Па
l1=Δ11D1=39,3342,76=0,9197
m1=Δ21D1=12,3342,76=0,2883
n1=Δ1D1=11,3942,76=0,2663
Аналогично для второй главной пло...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
20 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
1 октября 2018
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
В некоторой точке тела в декартовой ортогональной системе координат тензор напряжений задан своими компонентами (в паскалях).jpg
2018-10-04 18:06
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Спасибо автору за быструю и хорошо проделанную работу по прикладной механике. А также, за дополнительную помощь и ответы на все возникшие вопросы.
Хочешь такую же работу?
300 ₽
