Создан заказ №3990334
13 мая 2019
Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов Известно
Как заказчик описал требования к работе:
Задача №1. Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов. Известно, что для производства одного изделия А требуется сырье 1- го типа в количестве (ед.), 2 - го типа - (ед.) и 3 – го типа - (ед.), а для производства изделия В -, и соответственно. Запасы сырья на предпр
иятии ограничены и составляют величины , и соответственно. Известно также, что прибыль от реализации одного изделия А составляет р (руб.), а одного изделия В – q (руб.). p=5, q=4, a1=3, b1=2, c1=27, a2=1, b2=1, c2=10, a3=1, b3=4, c3=2. Требуется составить такой план производства изделий из имеющегося сырья, чтобы суммарная прибыль от реализации всех изделий была максимальной (для этого построить соответствующую математическую модель и решить полученную задачу линейного программирования графически и симплекс методом). Получить двойственные оценки ресурсов и дать их экономический анализ
подробнее
Фрагмент выполненной работы:
Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов. Известно, что для производства одного изделия А требуется сырье 1- го типа в количестве 3 (ед.), 2 - го типа - 1 (ед.) и 3 – го типа - 1 (ед.), а для производства изделия В – 2, 1 и 4 соответственно. Запасы сырья на предприятии ограничены и составляют величины 27, 10 и 2 соответственно. Известно также, что прибыль от реализации одного изделия А составляет 5 (руб.), а одного изделия В – 4 (руб.). (работа была выполнена специалистами author24.ru) Требуется составить такой план производства изделий из имеющегося сырья, чтобы суммарная прибыль от реализации всех изделий была максимальной (для этого построить соответствующую математическую модель и решить полученную задачу линейного программирования графически и симплекс методом). Получить двойственные оценки ресурсов и дать их экономический анализ.
Решение:
Построим математическую модель задачи. Обозначим через х1 – число запланированных к производству изделий А, а через х2 - число изделий вида В. Очевидно, что затраты сырья первого типа на производство всех изделий составит величину а1x1+b1x2, которая не должна превышать запасов этого сырья с1, то есть должно выполнятся неравенство:
а1x1+b1x2≤ с1
Аналогичные рассуждения для двух других типов сырья дают еще два ограничения:
а2x1+b2x2≤ с2
а3x1+b3x2≤ с3
Кроме того, по смыслу задачи переменные х1 и х2 не могут быть отрицательными, то есть:
x1≥0, x2≥0
Прибыль от реализации всех этих изделий составит величину:
z=px1+qx2
Таким образом, получаем следующую математическую формализацию исходной задачи оптимального планирования:
z=px1+qx2→max
247269030480а1x1+b1x2≤ с1
а2x1+b2x2≤ с2
а3x1+b3x2≤ с3
x1≥0, x2≥0
Для наших данных: z = 5x1+4x2→max
при следующих условиях-ограничениях:
2529840266703x1+2x2≤27
x1+x2≤10
x1+4x2≤2
x1≥0, x2≥0
Построим на плоскости пять прямых, соответствующих данным ограничениям:
; ; .
681990120078500Прямые и соответствуют координатным осям. Очевидно, что данная система неравенств определяет на плоскости треугольник допустимых решений (заштрихованная область).
977265117475
9772656794500
97726564135
Рис. 1 – Графическое решение ЗЛП
Построим прямую, отвечающую значению функции z = 5x1+4x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации z. Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (5;4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Таким образом, х1=2, х2=0.
Итак, для получения оптимальной прибыли в размере 10 (руб.) необходимо выпустить 2 (ед.) продукции А и 0 (ед.) продукции В.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.
1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5.
3x1+2x2+x3 = 27
x1+x2+x4 = 10
x1+4x2+x5 = 2
Вводим фиктивные переменные , , . Получаем расширенную ЗЛП:
;
В нашем случае каноническая форма записи ЗЛП имеет вид:
;
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
EQ A = \b(\a \al \co5 \hs3 (3;2;1;0;0;1;1;0;1;0;1;4;0;0;1))
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5
Запишем в виде вектора:
.
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X0 = (0,0,27,10,2).
Значение целевой функции для этого плана равно:
Для каждого из векторов определим величину оценки
Имеет место утверждение: план ЗЛП, сформулированной на нахождение максимального значения целевой функции, является оптимальным, если для всех .
Для базисных векторов обязательно .
В рассматриваемом примере имеем:
,
.
Получаем: условие оптимальности нарушается для векторов и .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее: min (27 : 3 , 10 : 1 , 2 : 1 ) = 2
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис
B x1 x2 x3 x4 x5 min
x3 27 3 2 1 0 0 9
x4 10 1 1 0 1 0 10
x5 2 1 4 0 0 1 2
F(X1) 0 -5 -4 0 0 0
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x1.
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
20 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
14 мая 2019
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов Известно.jpg
2019-05-17 06:45
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Автор оперативно и качественно выполнила работу)Осталась довольна)Поставили хорошую оценку)можно доверять)
Хочешь такую же работу?
300 ₽
