Создан заказ №4018082
17 мая 2019
для функции vx t примет вид vtt=a2vxx+2x+1cos3t+3sinx (4) v0 t=0 v(l t)=0 (5) ux
Как заказчик описал требования к работе:
Срочно решить контрольную работу по физике из 6 задач в двух вариантах. Все решения нужно подробно расписать.
Фрагмент выполненной работы:
для функции vx,t примет вид
vtt=a2vxx+2x+1cos3t+3sinx,
(4)
v0,t=0, v(l,t)=0.
(5)
ux,0=vx,t+u1+u2-u1xlt=0=vx,0+u1+u2-u1xl=u2-u1xl+u1,
utx,0=∂∂tvx,t+u1+u2-u1xlt=0=vtx,0=0,
vx,0=0, vtx,0=0.
(6)
Найдем собственные функции соответствующей однородной начально-краевой задачи с однородным волновым уравнением
vtt=a2vxx.
(7)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
vx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (7)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. (работа была выполнена специалистами author24.ru) левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+a2λTt=0.
Подставляя vx,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (5), получим
v0,t=X0⋅Tt=0, vl,t=Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xl=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xl=C2 sinλl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλl=0,
λl=πn, n=1,2,3,…
Собственные значения задачи равны
λn=πnl2, n=1,2,3,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπnxl, n=1,2,3,…
Решение vx,t неоднородной задачи (4) − (6) будем искать в виде ряда по собственным функциям однородной задачи
vx,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Tntsinπnxl.
Подставим функцию ux,t в таком виде в неоднородное уравнение (4) и начальные условия (6)
n=1∞Tn''tsinπnxl=-a2n=1∞πnl2Tntsinπnxl+2x+1cos3t+3sinx,
vx,0=n=1∞Tn0sinπnxl=0,
vtx,0=n=1∞Tn'0sinπnxl=0.
Разложим неоднородность 2x+1cos3t+3sinx в ряд Фурье по собственным функциям sinπnxln=1∞
2x+1cos3t+3sinx=n=1∞gncos3t+fnsinπnxl.
Коэффициенты разложения равны
gn=2l0l2x+1sinπnxldx=2l0l-lπn2x+1 dcosπnxl=
=-2πn2x+1cosπnxl0l-20lcosπnxldx=
=-2πn2l+1cosπn-1-2lπnsinπnxl0l=0=21-2l+1-1nπn.
fn=2l0l3sinxsinπnxldx=6l0l12cosπnxl-x-cosπnxl+xdx=
=3l0lcosπnl-1x-cosπnl+1xdx=
Если πnl=1 (l=πn), то
=3l0l1-cos2xdx=3l x-12sin2x0l=3l l-12sin2l=3l l-12sin2πn=3;
Если πnl≠1, то
=3l 1πnl-1sinπnl-1x-1πnl+1sinπnl+1x0l=
=3l 1πnl-1sinπn-l-1πnl+1sinπn+l=3 --1nsinlπn-l--1nsinlπn+l=
=-6πn-1nsinlπ2n2-l2.
Таким образом, получили уравнение
n=1∞Tn''tsinπnxl=-n=1∞aπnl2Tntsinπnxl+n=1∞gncos3t+fnsinπnxl.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπnxln=1∞, следует, что функции Tnt удовлетворяют уравнениям
Tn''t=-aπnl2Tnt+gncos3t+fn,
и начальным условиям
Tn0=0, Tn'0=0, n=1,2,…
Общее решение уравнения имеет вид
Tnt=Ancosaπntl+Bnsinaπntl+Tnчастt.
1) Если aπnl≠3, n=1,2,…, (нерезонансный случай)
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
Tnчастt=Cncos3t+Dn
Подставляем в уравнение
-9Cncos3t=-aπnl2Cncos3t+Dn+gncos3t+fn.
cos3t:1:-9Cn=-aπnl2Cn+gn0=-aπnl2Dn+fn ⇒Cn=gnaπnl2-9Dn=fnaπnl2
Tnчастt=gnaπnl2-9cos3t+fnaπnl2
Tnt=Ancosaπntl+Bnsinaπntl+gnaπnl2-9cos3t+fnaπnl2.
Tn't=aπnl-Ansinaπntl+Bncosaπntl-3gnaπnl2-9sin3t.
Коэффициенты An, Bn найдем из начальных условий
Tn0=An+gnaπnl2-9+fnaπnl2=0Tn'0=aπnlBn=0 ⟹ An=-gnaπnl2-9-fnaπnl2 Bn=0
Tnt=-gnaπnl2-9-fnaπnl2cosaπntl+gnaπnl2-9cos3t+fnaπnl2=
=gnaπnl2-9cos3t-cosaπntl+fnaπnl21-cosaπntl.
Тогда решение vx,t задачи (4) – (6) будет
vx,t=n=1∞gnaπnl2-9cos3t-cosaπntl+fnaπnl21-cosaπntlsinπnxl.
Решение ux,t исходной задачи (1) – (3) имеет вид
ux,t=u1+u2-u1xl+
+n=1∞gnaπnl2-9cos3t-cosaπntl+fnaπnl21-cosaπntlsinπnxl.
2) Если ∃n=n0: aπn0l=3 (резонансный случай)
Частое решение неоднородного уравнения ищем в виде
Tnчастt=Cntcos3t+Dntsin3t+En
Tnчаст't=Cncos3t-3tsin3t+Dnsin3t+3tcos3t
Tnчаст''t=Cn-6sin3t-9tcos3t+Dn6cos3t-9tsin3t
Подставляем в уравнение
Cn-6sin3t-9tcos3t+Dn6cos3t-9tsin3t==-9Cntcos3t+Dntsin3t+En+gncos3t+fn;
-6Cnsin3t+6Dncos3t=-9En+gncos3t+fn;
sin3t:cos3t:1:-6Cn=06Dn=gn0=-9En+fn ⇒Cn=0Dn=gn6En=fn9
Tnчастt=gn6tsin3t+fn9;
Tnt=Ancos3t+Bnsin3t+gn6tsin3t+fn9.
Tn't=3-Ansin3t+Bncos3t+gn6sin3t+3tcos3t.
Коэффициенты An, Bn найдем из начальных условий
Tn0=An+fn9=0Tn'0=3Bn=0 ⟹ An=-fn9 Bn=0
Tnt=-fn9cos3t+gn6tsin3t+fn9=gn6tsin3t+fn91-cos3t;
Тогда решение vx,t задачи (4) – (6) будет
vx,t=gn06tsin3t+fn091-cos3tsin3xa+
+n=1n≠n0∞gnaπnl2-9cos3t-cosaπntl+fnaπnl21-cosaπntlsinπnxl.
Решение ux,t исходной задачи (1) – (3) имеет вид
ux,t=u1+u2-u1xl+gn06tsin3t+fn091-cos3tsin3xa+
+n=1n≠n0∞gnaπnl2-9cos3t-cosaπntl+fnaπnl21-cosaπntlsinπnxl.
Решение:
1) Если aπnl≠3, n=1,2,…, (нерезонансный случай)
ux,t=u1+u2-u1xl+
+n=1∞gnaπnl2-9cos3t-cosaπntl+fnaπnl21-cosaπntlsinπnxl.
2) Если ∃n=n0: aπn0l=3 (резонансный случай)
ux,t=u1+u2-u1xl+gn06tsin3t+fn091-cos3tsin3xa+
+n=1n≠n0∞gnaπnl2-9cos3t-cosaπntl+fnaπnl21-cosaπntlsinπnxl.
где
fn= 3, если πnl=1-6πn-1nsinlπ2n2-l2, если πnl≠1
gn=21-2l+1-1nπn.
Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
18 мая 2019
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
для функции vx t примет вид
vtt=a2vxx+2x+1cos3t+3sinx
(4)
v0 t=0 v(l t)=0
(5)
ux.docx
2019-05-21 15:57
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Работа выполнена на отлично.
Огромное Вам спасибо, я очень доволен.
Заказ выполнен намного раньше рока, все выполнено верно и подробно.
Автор с золотыми руками.
Спасибо
Хочешь такую же работу?
300 ₽
