Создан заказ №4053485
24 мая 2019
Вариант 1 Игра задана платежной матрицей Найти общее решение игры Решение Применим к данной игре принцип доминируемости
Как заказчик описал требования к работе:
Срочно решить контрольную работу по теории вероятности из 6 задач в двух вариантах. Все решения нужно подробно расписать.
Фрагмент выполненной работы:
Вариант 1
Игра задана платежной матрицей. Найти общее решение игры.
Решение.
Применим к данной игре принцип доминируемости, т.е. уберем стратегии, заведомо невыгодные игрокам.
Т.к. игрок 2, выбирая 3-ю стратегию, заведомо в любой ситуации получит больший проигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. ai3 > ai1, i= 1,2,3), то 3-ю стратегию игрока 2 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 3-й столбец.
В итоге получим матрицу
3 6
1 5
7 2
В полученной матрице т.к. (работа была выполнена специалистами author24.ru) игрок 1, выбирая 2-ю стратегию, заведомо в любой ситуации получит меньший выигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. a2j < a1j, j= 1,2), то 2-ю стратегию игрока 1 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 2-ю строку.
Таким образом, получим матричную игру с платежной матрицей
3 6
7 2
Найдем нижнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новый столбец, состоящий из минимумов по каждой строке.
i/j 1 2 min aij
по строке
1 3 6 3
3 7 2 2
max aij
по столбцу 7 6
В последнем столбце среди минимумов найдем максимум. Т.е. нижняя цена игры v1 = 3.
Найдем верхнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новую строку, состоящую из максимумов по каждому столбцу.
В последней строке среди максимумов найдем минимум. Т.е. верхняя цена игры v2 = 6.
Т.к. нижняя и верхняя цены игры не совпадают, v1 v2, то игра не имеет седловую точку и не имеет решение в чистых стратегиях.
Будем искать решение игры в смешанных стратегиях.
Воспользуемся преобразованной платежной матрицей 2х2
i/j 1 2
1 3 6
3 7 2
Пусть x = (x1, x3) – оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока,
y = (y1, y2) – оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока,
v – цена игры.
Тогда оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока определяется как решение следующей системы уравнений:
(1)
Оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока определяется как решение следующей системы уравнений:
(2)
Найдем решение игры методом Лагранжа.
Составим функцию Лагранжа для нашей игры:
L = v + 1(x1 + x3 – 1) + 2(y1 + y2 – 1),
где цена игры определяется по формуле: v = (a11x1 + a21x3)y1 + (a12x1 + a22x3)y2, окончательно получим
L = (a11x1 + a21x3)y1 + (a12x1 + a22x3)y2 + 1(x1 + x3 – 1) + 2(y1 + y2 – 1)
Приравняем к 0 все частные производные по всем аргументам, получим следующую систему уравнений:
Решая эту систему, приходим к следующим выражениям для элементов оптимальных стратегий:
k = a11 + a22 – a12 – a21
Получим:
k = 3 + 2 – 6 – 7 = –8
v = (30,625 + 70,375)0,5 + (60,625 + 20,375)0,5 = 4,5
Найдем решение игры методом Крамера.
Решим систему (1). Запишем ее в виде:
или в матричном виде Ах = b, где
Вычислим определители:
Тогда по формулам Крамера получим:
Решим систему (2). Запишем ее в виде:
или в матричном виде Ах = b, где
Вычислим определители:
Тогда по формулам Крамера получим:
Найдем решение игры методом обратной матрицы.
Решим систему (1).
Решение ищется по формуле: x = A–1b
Обратная матрица определяется по формуле:
,
где – алгебраическое дополнение к элементу аij.
A11==0 – (–1) = 1, A12= –=–(0 – (–1)) = –1, A13= =6 – 2 = 4,
A21== –(0 – (–1)) = –1, A22= –= 0 – (–1)) = 1, A23= = –(3 – 7) = 4,
A31== –7 – (–2) = –5, A32= –= –(–3 – (–6)) = –3, A33= =6 – 42 = –36.
Тогда
Найдем х = A–1b =
Получили решение
Решим систему (2).
Решение ищется по формуле: y = A–1b
A11==0 – (–1) = 1, A12= –=–(0 – (–1)) = –1, A13= =7 – 2 = 5,
A21== –(0 – (–1)) = –1, A22= –= 0 – (–1)) = 1, A23= = –(3 – 6) = 3,
A31== –6 – (–2) = –4, A32= –= –(–3 – (–7)) = –4, A33= =6 – 42 = –36.
Тогда
Найдем y = A–1b =
Получили решение
Тремя способами получили решение матричной игры:
x = (0,625; 0; 0,375) – оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока,
y = (0,5; 0,5; 0) – оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока,
v = 4,5 – цена игры.
Решение:
x = (0,625; 0; 0,375) – оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока,
y = (0,5; 0,5; 0) – оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока,
v = 4,5 – цена игрыПосмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
25 мая 2019
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Вариант 1
Игра задана платежной матрицей Найти общее решение игры
Решение
Применим к данной игре принцип доминируемости.docx
2019-11-29 21:51
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
4.8
Положительно
Задание по ТВ иМС.
Выполнено в срок, подробное описание, практически без ошибок.
В целом — доволен! Спасибо автору.
Хочешь такую же работу?
300 ₽
