Создан заказ №764421
24 октября 2015
По заданному тензору напряжений Tσ=180-9036-9027012636126-54 МПа выполнить следующие расчеты
Как заказчик описал требования к работе:
Из методички решить задания по 10 пунктам.Задания и примерное решение начинается со страницы 5.На странице 6 вместо № подставить номер варианта и следовать указаниям методички.№ варианта 18.Решение от руки
Фрагмент выполненной работы:
По заданному тензору напряжений
Tσ=180-9036-9027012636126-54 МПа
выполнить следующие расчеты:
вычислить инварианты напряженного состояния I1, I2, I3;
вычислить главные напряжения σ1,σ2, σ3;
вычислить направляющие косинусы главных осей тензора напряжений
l1m1n1l2m2n2l3m3n3;
выполнить проверку правильности определения главных напряжений и положения главных осей;
рассчитать главные касательные напряжения и показать площадки, на которых они действуют;
рассчитать полное, нормальное и касательное напряжения по площадке с заданными направляющими косинусами:
lν=0,18; mν=0,4⋅0,18=0,072; nν=1-0,182-0,0722=0,981,
где ν – нормаль к площадке;
вычислить составляющие тензора деформаций в исходной системе координат, приняв модуль Юнга и коэффициент Пуассона равными
E=2⋅105 МПа, μ=0,25;
найти главные деформации ε1, ε2, ε3;
найти направляющие косинусы главных осей тензора деформаций;
сравнить значения направляющих косинусов для главных осей тензоров напряжений и деформаций. (работа была выполнена специалистами Автор 24) Если есть расхождения, то вычислить погрешность расчетов в процентах.
Решение:
Инварианты напряженного состояния I1, I2, I3
I1=σx+σy+σz=180+270+-54=396 МПа,
I2=σxσy+σyσz+σzσx-τxy2-τyz2-τzx2=
=180⋅270+270⋅-54+-54⋅180--902-1262-362=
=-972 МПа2,
I3=180-9036-9027012636126-54=180⋅270⋅-54+2⋅-90⋅126⋅36-
-36⋅270⋅36-180⋅126⋅126--90⋅-90⋅-54=-6211080 МПа3.
Главные напряжения σ1,σ2, σ3.
Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:
s3-I1s2+I2s-I3=0.
Подставляем численные значения инвариантов тензора напряжений, получаем
s3-396 s2-972 s+6211080=0.
Решаем кубическое уравнение, получаем три действительных корня
σ1=347,306 МПа; σ2=160,274 МПа; σ3=-111,581 МПа.
Здесь σ1 – алгебраически максимальное напряжение; σ2 – алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; σ3 – алгебраически минимальное напряжение.
Тензор напряжений в главных осях имеет вид
Tσ=σ1000σ2000σ3=347,306000160,274000-111,581 МПа.
Направляющие косинусы главных осей тензора напряжений определяются матрицей
L=l1m1n1l2m2n2l3m3n3,
при этом li2+mi2+ni2=1.
Здесь первая строка матрицы представляет направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение σ1; вторая строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение σ2; третья строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение σ3.
Направляющие косинусы l1,m1,n1
Направляющие косинусы главной оси, вдоль которой действует напряжение σ1=347,306, находятся из системы уравнений
180-347,306 l1-90 m1+36 n1=0, -90 l1+270-347,306 m1+126 n1=0,36 l1+126 m1+-54-347,306 n1=0.
-167,306 l1-90 m1+36 n1=0, -90 l1-77,306 m1+126 n1=0,36 l1+126 m1-401,306 n1=0.
Определитель этой системы уравнений равен нулю, следовательно, три уравнения являются линейно зависимыми. Поэтому для определения l1,m1,n1 возьмем первые два уравнения
-167,306 l1-90 m1+36 n1=0, -90 l1-77,306 m1+126 n1=0,l12+m12+n12=1.
Разделим первые два уравнения на n1
-167,306l1n1-90m1n1=-36, -90l1n1-77,306m1n1=-126,l12+m12+n12=1.
Отсюда
l1n1=-1,769, m1n1=3,690.
Подставляем эти выражения в третье уравнение
1,769 n12+3,690 n12+n12=1,
найдем
n1=±0,237.
Возьмем n1 со знаком «+», тогда
l1=-0,420, m1=0,876, n1=0,237.
Вычислим углы, которые составляет первая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат
∠x,σ1=arccosl1=arccos-0,420=114°50',
∠y,σ1=arccosm1=arccos0,876=28°50',
∠z,σ1=arccosn1=arccos0,237=76°17'.
Направляющие косинусы l2,m2,n2
Направляющие косинусы главной оси, вдоль которой действует напряжение σ2=160,274, находятся из системы уравнений
180-160,274 l2-90 m2+36 n2=0, -90 l2+270-160,274 m2+126 n2=0,36 l2+126 m2+-54-160,274 n2=0.
Возьмем первые два уравнения
20,274 l2-90 m2+36 n2=0, -90 l2+110,274 m2+126 n2=0,l22+m22+n22=1.
Решая эту систему уравнений, получим
l2=0,880, m2=0,330, n2=0,342.
Здесь так же у n2 принят знак «+».
Вычислим углы, которые составляет вторая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат
∠x,σ2=arccosl2=arccos0,880=28°21',
∠y,σ2=arccosm2=arccos0,330=70°44,
∠z,σ2=arccosn2=arccos0,342=70°00'.
Направляющие косинусы l3,m3,n3
Направляющие косинусы главной оси, вдоль которой действует напряжение σ3=-111,581, находятся из системы уравнений
180--111,581 l3-90 m3+36 n3=0, -90 l3+270--111,581 m3+126 n3=0,36 l3+126 m3+-54--111,581 n3=0.
Возьмем первые два уравнения
291,581 l3-90 m3+36 n3=0, -90 l3+381,581 m3+126 n3=0,l32+m32+n32=1.
Решая эту систему уравнений, получим
l3=-0,221, m3=-0,352, n3=0,909.
Здесь у n3 принят знак «+».
Углы, которые составляет третья главная ось тензора напряжений с исходными осями координат, найдем позже.
Проверка правильности определения главных напряжений и положения главных осей
4.1. Проверка правильности определения главных напряжений
Вычислим инварианты тензора напряжений
I1=σ1+σ2+σ3=347,306+160,274+-111,581=396 МПа,
I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1=
=347,306⋅160,274+160,274⋅-111,581+-111,581⋅347,306=
=-972 МПа2,
I3=σ1⋅σ2⋅σ3=347,306⋅160,274⋅-111,581=
=-6211080 МПа3.
Инварианты получились такими же, как в п. 1, значит, главные напряжения найдены верно.
4.2. Проверка правильности положения главных осей
Матрица направляющих косинусов L должна быть ортогональной. Для проверки вычислим ее определитель
L=-0,4200,8760,2370,8800,3300,342-0,221-0,3520,909=-1.
Так как определитель получился равным −1, то новая система координат левая. Для того, чтобы получить правую систему координат, нужно поменять направление одной из главных осей...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
25 октября 2015
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
По заданному тензору напряжений
Tσ=180-9036-9027012636126-54 МПа
выполнить следующие расчеты.docx
2018-01-23 12:59
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Спасибо большое за работу. Высокий рейтинг полностью соответствует профессионализму этого человека. Из плюсов хотелось бы отметить низкую цену, которую автор запрашивает за заказ. Я в восторге!
Хочешь такую же работу?
300 ₽
