Создан заказ №8308987
21 апреля 2022
Минимаксная задача для корреляционных функций
Как заказчик описал требования к работе:
На максимальном удалении от центра нужно создать фрагмент изображения, максимально сходный с центральным участком исходного изображения с помощью средств стрессового воздействия, когда их взаимная корреляция будет равна 0,8 или близким к 1. Практическую реализацию алгоритма можно выполнить в Матлабе
, теоретическую часть нужно изложить математически. Нужно показать управляемость процесса приближения сходства.
Решение задачи для случая минимума корреляционной функции.
Необходимые и Достаточные условия.
Запишем исходное поле в виде ∑_(i=1)^Mx▒∑_(j=1)^My▒a_ij , а поле после установки средств стрессового воздействия, воспользовавшись свойством дельта-функции, в виде (∑_(k=1)^(M_x)▒〖∑_(l=1)^(M_y)▒〖a_kl+〗 A_kl δ(k,l)〗).
Корреляция между этими изображениями равна:
С=(∑_(i=1)^Mx▒∑_(j=1)^My▒a_ij ∙∑_(k=1)^(M_x)▒〖∑_(l=1)^(M_y)▒〖a_kl+〗 A_kl δ(k,l)〗)/(√(∑_(i=1)^Mx▒∑_(j=1)^My▒a_ij^2 )⋅√(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 )). (1)
Коэффициент K=1/√(∑_(i=1)^Mx▒∑_(j=1)^My▒a_ij^2 ) не зависит от исходного поля и показывает величину, обратную среднеквадратическому отклонению яркости исходного поля до установки средств стрессового воздействия, и может быть вынесен за скобки.
Обозначим u=∑_(i=1)^Mx▒∑_(j=1)^My▒a_ij ∙∑_(k=1)^(M_x)▒〖∑_(l=1)^(M_y)▒〖a_kl+〗 A_kl δ(k,l)〗 (2)
и
v=√(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 ). (3)
Тогда можно записать C=K u/v.
Для решения задачи необходимо найти значения вектора амплитуд (A11, ... , AMxMy), при котором значение C минимально. Необходимым условием минимальности является равенство нулю всех частных производных C по Akl. Вычислим частные производные.
∂С/(∂A_kl )=K (u^' v-uv^')/v^2 . (4)
u=∑_(i=1)^Mx▒∑_(j=1)^My▒a_ij ∙∑_(k=1)^(M_x)▒〖∑_(l=1)^(M_y)▒〖a_kl+〗 A_kl δ(k,l) 〗=∑_(i=1)^(M_x)▒∑_(j=1)^(M_y)▒∑_(k=1)^(M_x)▒∑_(l=1)^(M_y)▒〖a_ij a_kl+a_ij A_kl δ(k,l)〗. (5)
u^'=∂u/(∂A_kl )=∑_(i=1)^(M_x)▒∑_(j=1)^(M_y)▒a_ij =a ̅, среднее значение яркости исходного поля. (6)
v=√(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 ). (7)
v^'=3/2 〖(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l)) )〗^(3/2)∙∑_(k=1)^(M_x)▒∑_(l=1)^(M_y)▒(2a_kl+2A_kl ) =3(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l)) )^(3/2)∙((a) ̅+A ̅), где a ̅ и A ̅ – средние яркости исходного поля и поля засветки. (8)
Подставив (5) – (8) в (4), потребуем
∂С/(∂A_kl )=(a ̅∙√(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 )-∑_(i=1)^(M_x)▒∑_(j=1)^(M_y)▒∑_(k=1)^(M_x)▒∑_(l=1)^(M_y)▒〖a_ij a_kl+a_ij A_kl δ(k,l)3(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l)) )^(3/2)∙((a) ̅+A ̅)〗)/(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 )=0.
Это условие выполняется при равенстве нулю числителя и неравенстве нулю знаменателя. Отсюда
a ̅∙√(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 )-∑_(i=1)^(M_x)▒∑_(j=1)^(M_y)▒∑_(k=1)^(M_x)▒∑_(l=1)^(M_y)▒〖〖(a〗_ij a_kl+a_ij A_kl δ(k,l))∙3(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l)) )^(3/2)∙((a) ̅+A ̅)〗=0. (9)
Сократим на √(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 ), т.к. это выражение не равно нулю. Получим уравнение
3∑_(i=1)^(M_x)▒∑_(j=1)^(M_y)▒∑_(k=1)^(M_x)▒∑_(l=1)^(M_y)▒〖〖(a〗_ij a_kl+a_ij A_kl δ(k,l))∙(∑_(k=1)^Mx▒∑_(l=1)^My▒(a_kl+A_kl δ(k,l))^2 )∙((a) ̅+A ̅)〗=a ̅. (10)
Уравнение (10) может быть решено численными методами.
Достаточным условием экстремума является положительно определенная матрица Гессе:
|■((∂^2 С)/(∂〖A_kl〗^2 )&(∂^2 C)/(∂A_kl ∂A_(k+1,l) )…&(∂^2 C)/(∂A_kl ∂A_(m,n) )@(∂^2 C)/(∂A_kl ∂A_(k,l+1) )&…&@&&)|
Исходя из свойств дельта-функции, можно заключить, что все (∂^2 C)/(∂A_kl ∂A_(m,n) )=0 при m≠k, n≠l.
Таким образом, матрица Гессе становится положительно определенной диагональной матрицей, что доказывает существование экстремума, определяемого уравнением (10)
подробнее
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
22 апреля 2022
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Минимаксная задача для корреляционных функций.docx
2022-04-25 19:48
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Работа выполнена корректно, с первого раза, в срок.
Всем доволен, автору благодарен.
Хочешь такую же работу?
300 ₽
