Создан заказ №2252775
10 сентября 2017
6 1 1 Энергетическим методом или путем интегрирования дифференциального уравнения изгиба определить коэффициент приведения длины стойки постоянного поперечного сечения
Как заказчик описал требования к работе:
сделать задачу в Ворде двумя способами : энергетическим и точным .
Фрагмент выполненной работы:
6.1.
1. Энергетическим методом или путем интегрирования дифференциального уравнения изгиба определить коэффициент приведения длины стойки постоянного поперечного сечения.
2. Определить номер профиля стойки с помощью коэффициентов понижения φ.
Параметры задачи: F=250 кН; l=3 м; l0=12*l; допускаемое напряжение на сжатие σсж=160 МПа; материал стойки – сталь 3.
λ
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
φ
0,99 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86 0,81 0,75 0,69 0,60 0,52 0,45 0,40 0,36 0,32 0,29
Решение:
Определение коэффициента приведения длины стойки энергетическим методом.
Для решения данной подзадачи зададимся уравнением изогнутой оси стержня в виде алгебраической функции:
yx=a0+a1*x+a2*x2+a3*x3+a4*x4.
Коэффициенты этой функции подберем так, чтобы были удовлетворены граничные условия рассматриваемой стойки:
а) y0=0 – в шарнирно-подвижном соединении с землей прогиб должен быть равен нулю. (работа была выполнена специалистами Автор 24) Тогда
y0=a0+a1*0+a2*0+a3*0+a4*0=0⇒a0=0.
б) y''0=0 – в шарнирно-подвижном соединении с землей изгибающий момент должен быть равен нулю. Тогда
y'x=a1+2a2*x+3a3*x2+4a4*x3;
y''x=2a2+6a3*x+12a4*x2;
y''0=2a2+6a3*0+12a4*0=0⇒a2=0.
в) yl0=0 – в шарнирном соединении посередине стойки прогиб должен быть равен нулю. Тогда
yl2=a0+a1*l2+a2*l24+a3*l38+a4*l416=0;
0+a1*l2+0*l24+a3*l38+a4*l416=0;
8a1+2a3*l2+a4*l3=0.
г) y'l=0 – в бискользящей заделке вверху стойки поворот сечения должен быть равен нулю. Тогда
y'l=a1+2a2*l+3a3*l2+4a4*l3;
y'l=a1+3a3*l2+4a4*l3;
a1+3a3*l2+4a4*l3=0.
Таким образом, получено:
8a1+2a3*l2+a4*l3=0;a1+3a3*l2+4a4*l3=0.
Решаем полученную систему относительно a4:
8*-3a3*l2-4a4*l3+2a3*l2+a4*l3=0;
-24a3*l2-32a4*l3+2a3*l2+a4*l3=0;
-22a3*l2-31a4*l3=0;
a3=-3122*a4*l.
a1=-3*-3122*a4*l*l2-4a4*l3;
a1=9322*a4*l3-8822*a4*l3=522*a4*l3.
Следовательно, уравнение упругой линии стойки имеет вид:
yx=522*a4*l3*x-3122*a4*l*x3+a4*x4=
=a422*5*l3*x-31*l*x3+22*x4.
Далее находим:
y'=a422*5*l3-93*l*x2+88*x3;
y''=a422*-186*l*x+264*x2=3*a411*44*x2-31*l*x;
y'2=a42484*5*l3-93*l*x2+88*x32=
=a42484*25*l6-465*l4*x2+440*l3*x3-465*l4*x2+8649*l2*x4-
-8184*l*x5+440*l3*x3-8184*l*x5+7744*x6=
=a42484*7744*x6-16368*l*x5+8649*l2*x4+880*l3*x3-
-930*l4*x2+25*l6;
y''2=9*a42121*44*x2-31*l*x2=
=9*a42121*1936*x4-2728*l*x3+961*l2*x2.
Соответствующие интегралы будут равны:
0ly'2dx=
=3*a411*0l7744*x6-16368*l*x5+8649*l2*x4+880*l3*x3-930*l4*x2+25*l6dx=
=a42484*7744*l77-2728*l7+8649*l75+220*l7-310*l7+25*l7=
=a42484*1508*l735=3774235*a42*l7.
0ly''2dx=9*a42121*0l1936*x4-2728*l*x3+961*l2*x2dx=
=9*a42121*1936*l55-682*l5+961*l53=9*a42121*383*l515=1149605*a42*l5.
Подставляя найденные значения интегралов в формулу для определения критической силы, получаем:
Pк=0lEJy''2dx0ly'2dx=1149605*a42*l5*EJ3774235*a42*l7=97320345617*EJl2.
Преобразуем полученное выражение к виду для определения критической силы по формуле Эйлера:
Pк=π2*EJπ2*45617973203*l2.
Следовательно:
μ2=π2*45617973203.
Искомый коэффициент приведения длины:
μ=π*45617973203=3,14159*45617973203=0,68.
Определение коэффициента приведения длины стойки точным методом – с помощью интегрирования дифференциального уравнения изгиба.
Изогнутая ось стержня имеет вид:
Уравнение равновесия:
m – Pf + Rl0 = 0,
откуда получим:
R=(Pf-m)/l0.
Участок 1:
ДУ изогнутой оси:
EJminy1”=Pfz/l0 – mz/l0 – Py1. (1)
Участок 2:
ДУ изогнутой оси:
EJminy2”=P(f – y2) –m . (2)
Положим 2=P/EJmin, 2=m/EJmin, уравнения (1) и (2) перепишем в виде:
y1” + 2y1 = z/l0 (2f - 2) (11)
y2” + 2y2 = (2f -2) (21)
Решения этих ДУ имеют вид:
Положим 0=l0 , =l , =(/)2.
Граничные условия и условия сопряжения решений.
z=0 y1=0 => C1=0
z=l0 y1=0 => C2 sin(0 ) +f -=0
z=l0 y2=0 => C3 cos(0) + C4 sin(0) - +f=0
z=l y2=f => C3 cos() + C4 sin() -=0
z=l0 y2’= y1’ => C2cos(0)+(f-)/l0= -C3sin(0)+C4cos(0)
z=l y2’=0 => -C3sin()+C4cos()=0
Имеем систему пяти линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных C2 , C3 , C4 , f , .
Чтобы система имела нетривиальное решение, необходимо равенство нулю определителя её матрицы detA=0:
Раскрыв определитель, получим:
Учитывая соотношение /0=2, перепишем полученное уравнение в виде:
Численно решив его методом хорд (метод Ньютона), получим приближенное значение 0=2,2467.
По формуле Эйлера:
Pkp=2EJmin/(l)2,
из соотношения
2=P/EJmin
получим:
(P/EJmin)l2/4=02,
тогда коэффициент приведения:
μ=π2*λ0=3,141592*2,2467=0,699.
Расхождение точного значения с приближенным составляет:
1-0,680,699*100%=2,718%.
Понятно, что в дальнейших расчетах используем более точное значение.
Определение размеров поперечного сечения стойки.
Проверка устойчивости сжатых стержней производится по формуле:
σ=Fφ*A<σсж,
где F – приложенная сила, А – площадь поперечного сечения стержня.
Подбор сечения стойки будем производить путем последовательного приближения. Для этого задаемся произвольным значением φ, подбираем сечение и сопоставляем возникающие в нем напряжения с расчетным сопротивлением...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
20 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
11 сентября 2017
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
6 1
1 Энергетическим методом или путем интегрирования дифференциального уравнения изгиба определить коэффициент приведения длины стойки постоянного поперечного сечения.jpg
2020-12-16 22:16
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
4
Положительно
Очень хорошая и качественная работа. Выполнил раньше срока, что очень порадовало. Рекомендую заказывать у него работы!
Хочешь такую же работу?
300 ₽
