Создан заказ №2939590
28 апреля 2018
Методы оптимальных решений
Как заказчик описал требования к работе:
Контрольная работа 1
Примеры решения задач
Задача 1
Решение задач нелинейного программирования методом Лагранжа
Пример.
Целевая функция имеет вид
2 2
z x 2y .
Найти значения переменных, при которых достигается экстремум
целевой функции, при условии, что переменные связаны соотношением:
3x 2y
11.
Решение.
Составим функцию Лагранжа:
2 (3 2 11)
2 2
L x y x y .
Найдем стационарные точки функции Лагранжа:
3 2 11 0
4 2 0
2 3 0
x y
L
y
y
L
x
x
L
Из данной системы получаем:
2, x 3, y 1.
Точка (3;1) - точка условного экстремума функции
2 2
z x 2y .
Ответ: x=3, y=1, целевая функция имеет минимум z=11 в этой точке.
Задача 2
Задача об оптимальном распределении инвестиций
Пример.
Распределить Т=40 ден. ед. по трем предприятиям с целью получения
максимальной суммарной прибыли. Прибыль с предприятий задается табл. 1.
Таблица 1
Х g1 g2 g3
0 0 0 0
10 17 21 19
20 23 25 24
30 34 30 29
40 .40 37 32
Решение.
I этап. Условная оптимизация
1-й шаг. k=3. Предполагаем, что все средства 40 ден. ед. переданы на
инвестирование третьего предприятия. В этом случае максимальная прибыль
составит F3(C3)=32, см. табл. 2.
Таблица 2
C3
X3 X
*
3 0 10 20 30 40 F3(Сз)
0 0 — — — — 0 0
10 — 19 — —
—
— 19 10
20 — — 24 — 24 20
30 — — — 29 — 29 30
40 — — — — 32 32 40
2-й шаг. k =2, Определяем оптимальную стратегию инвестирования во второе и
третье предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет
иметь вид
F2 (C2) = max {g2 (x2) + F3 (C2-x2)}
На его основе рассчитываются данные табл.3.
Таблица 3
C2
X2
F2(C
2)
0 10 20 30 40
0 0+0 — — — — 0
10 0+19 21+0 — — — 21
20 0+24 21+19 25+0 — — 40
30 0+29 21+24 25+9 30+0 —
—
45
40 0+32 21+29 25+24 30+19 37+0 50
3-й шаг. k=1. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и
остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет
иметь вид
F1(C1) = max {g1 (x1) + F2C1-x1)}
На его основе находятся данные табл. 4.
Таблица 4
C1 X1
F1(C1) X
*
1
0 10 20 30 40
0 0+0 — — — — 0 0
10 0+21 17+0 — — — 21 0
20 0+40 17+21 23+0 — — 40 0
30 0+45 17+40 23+21 34+0 — 57 10
40 0+50 17+45 23+40 34+21 40+0 63 20
II этап. Безусловная оптимизация
1-й шаг. По данным табл. 3.4 максимальный доход при распределении 40
ден. ед. между тремя предприятиями составляет F1(5) =63. При этом первому
предприятию нужно выделить x1 = 20 ден. ед.
2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, ^
приходящуюся на долю второго и третьего предприятий:
C2=C1-x
*
1=40-20=20.
По данным табл. 3.3 находим, что оптимальный вариант распределения
денежных средств размером 20 ден. ед. между вторым и третьим
предприятиями составляет F2(3) = 40 ден. ед. при выделении второму
предприятию х2= 10 ден. ед.
3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств,
приходящуюся на долю третьего предприятия:
С3=С2-х
*
2= 20 - 10 = 10 ден. ед.
Из табл. 3.2 находим F3(2) = 19 и х
*
3= 10 ден. ед. Таким образом,
оптимальный план инвестирования предприятий Х
*
= (20, 10, 10),
обеспечивающий максимальный доход, равен
F(40) =g1 (20) +g2 (10) +g3 (10) = 23 + 21 + 19 = 63 ден. ед.
Задача 3
Построение производственной функции Кобба-Дугласа.
Пример.
Рассмотрим некоторое производство, в котором один работник
производит в течение года продукции на 1 млн. руб. Численность работников
составляет 1000 человек. Основные фонды оцениваются в 10 млрд. руб.
Известно также, что для увеличения выпуска продукции на 3% требуется
увеличить стоимость фондов на 6% или численность работников на 9%.
Допустим, что данное производство описывается с помощью функции ПФКД.
Требуется построить для данного предприятия производственную
функцию, определив коэффициенты эластичности.
Решение.
Построим производственную функцию Кобба-Дуглас
2
2
1
1
x
x
x
x
y
y
Где
y
y
- прирост объема продукции;
1
1
x
x
- прирост фондов;
2
2
x
x
- прирост трудовых ресурсов.
Из условий задачи для увеличения выпуска на 3%, то есть
0.03
y
y
следует увеличить стоимость фондов на 6%, то есть
0.06
1
1
x
x
, прирост
трудовых ресурсов
2
2
x
x
равен 0. Уравнение примет вид:
0.03 0.06 0
.
Этого же прироста можно достичь, если увеличить численность
работников на 9%, то есть
0.09
2
2
x
x
. Уравнение примет вид:
0.03 0 0.09
.
Отсюда можно найти коэффициенты эластичности, или, что то же самое,
коэффициенты модели ПФКД.
α=1/2, β=1/3.
α + β = 5/6.
ПФКД, учитывая, что затраченный капитал К = х1 , труд L = х2, примет
вид:
1/ 2 1/ 3
y AK L
Найдем теперь коэффициент А:
1000
10 1000
10
1 0 3
9
1/ 3
2
1/ 2
1
x x
y
A
.
Тогда производственная функция примет вид:
1/ 2 1/ 3
y 1000 K L .
Варианты индивидуальных заданий
Контрольная работа выполняется по вариантам. Выберите вариант в
соответствии с первой буквой Вашей фамилии:
Вариант 1 – для студентов (фамилии с А до Д)
Вариант 2 – для студентов (фамилии с Е до К)
Вариант 3 – для студентов (фамилии с Л до Р)
Вариант 4 – для студентов (фамилии с С до Ц)
Вариант 5 – для студентов (фамилии с Ч до Я)
Вариант 1
Ситуация 1
Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций
Z= x
2
+y
2
при условии x+y=1
Ситуация 2
Распределить Т=100 тыс .ден.ед. по четырем предприятиям с целью
получения максимальной суммарной прибыли. Значения прироста продукции в
зависимости от вложенных средств заданы таблицей.
Х g1 g2 g3 g4
20 16 14 15 15
40 30 32 36 25
60 49 50 45 22
80 51 48 57 36
100 72 60 70 51
Ситуация 3
Рассмотрим некоторое производство, которое описывается с помощью
функции ПФКД. Основные фонды оцениваются в х1 руб., численность
работников составляет х2 человек. Средняя производительность труда z=y/х2
руб. Известно также, что для увеличения выпуска продукции на ∆y требуется
увеличить стоимость фондов на ∆х1 или численность работников на ∆х2.
Требуется построить для данного предприятия производственную
функцию, определив коэффициенты эластичности.
х1= 6,4 млн. руб.
х2= 400 чел.
z=8000 руб.
∆y = 5%
∆х1=10%
∆х2=20%
Вариант 2
Ситуация 1
Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций
Z= 3x
2
+2y
2
-x+1 при условии x
2
+y
2
=4
Ситуация 2
Распределить Т=100 тыс .ден.ед. по четырем предприятиям с целью
получения максимальной суммарной прибыли. Значения прироста продукции в
зависимости от вложенных средств заданы таблицей.
Х g1 g2 g3 g4
20 19 14 20 25
40 36 32 36 53
60 51 52 47 66
80 72 61 72 70
100 81 79 80 84
Ситуация 3
Рассмотрим некоторое производство, которое описывается с помощью
функции ПФКД. Основные фонды оцениваются в х1 руб., численность
работников составляет х2 человек. Средняя производительность труда z=y/х2
руб. Известно также, что для увеличения выпуска продукции на ∆y требуется
увеличить стоимость фондов на ∆х1 или численность работников на ∆х2.
Требуется построить для данного предприятия производственную
функцию, определив коэффициенты эластичности.
х1= 50 млрд. руб.
х2= 5000 чел..
z=50000 руб.
∆y = 2%
∆х1=4%
∆х2=8%
Вариант 3
Ситуация 1
Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций
Z= x
2
-y
2
при условии x-y=4
Ситуация 2
Распределить Т=100 тыс .ден.ед. по четырем предприятиям с целью
получения максимальной суммарной прибыли. Значения прироста продукции в
зависимости от вложенных средств заданы таблицей.
Х g1 g2 g3 g4
20 10 14 14 19
40 16 14 15 15
60 30 32 36 25
80 45 43 47 36
100 60 50 55 53
Ситуация 3
Рассмотрим некоторое производство, которое описывается с помощью
функции ПФКД. Основные фонды оцениваются в х1 руб., численность
работников составляет х2 человек. Средняя производительность труда z=y/х2
руб. Известно также, что для увеличения выпуска продукции на ∆y требуется
увеличить стоимость фондов на ∆х1 или численность работников на ∆х2.
Требуется построить для данного предприятия производственную
функцию, определив коэффициенты эластичности.
х1= 25 млрд. руб.
х2= 10000 чел.
z=50000 руб.
∆y = 2%
∆х1=4%
∆х2=8%
Вариант 4
Ситуация 1
Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций
Z= x
2
-y
2
при условии x+y=6
Ситуация 2
Распределить Т=100 тыс .ден.ед. по четырем предприятиям с целью
получения максимальной суммарной прибыли. Значения прироста продукции в
зависимости от вложенных средств заданы таблицей.
Х g1 g2 g3 g4
20 14 17 22 20
40 26 20 21 33
60 35 32 37 46
80 52 61 67 30
100 61 72 58 42
Ситуация 3
Рассмотрим некоторое производство, которое описывается с помощью
функции ПФКД. Основные фонды оцениваются в х1 руб., численность
работников составляет х2 человек. Средняя производительность труда z=y/х2
руб. Известно также, что для увеличения выпуска продукции на ∆y требуется
увеличить стоимость фондов на ∆х1 или численность работников на ∆х2.
Требуется построить для данного предприятия производственную
функцию, определив коэффициенты эластичности.
х1= 3,2 млн. руб.
х2= 800 чел.
z=8000 руб.
∆y = 5%
∆х1=10%
∆х2=20%
Вариант 5
Ситуация 1
Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций
Z= 4x
2
+4y
2
при условии x+y=2
Ситуация 2
Распределить Т=100 тыс .ден.ед. по четырем предприятиям с целью
получения максимальной суммарной прибыли. Значения прироста продукции в
зависимости от вложенных средств заданы таблицей.
Х g1 g2 g3 g4
20 42 40 25 24
40 34 52 36 45
60 47 50 46 32
80 51 48 57 36
100 62 60 67 54
Ситуация 3
Рассмотрим некоторое производство, которое описывается с помощью
функции ПФКД. Основные фонды оцениваются в х1 руб., численность
работников составляет х2 человек. Средняя производительность труда z=y/х2
руб. Известно также, что для увеличения выпуска продукции на ∆y требуется
увеличить стоимость фондов на ∆х1 или численность работников на ∆х2.
Требуется построить для данного предприятия производственную
функцию, определив коэффициенты эластичности.
х1= 50 млрд. руб.
х2= 10000 чел.
z=25000 руб.
∆y = 2%
∆х1=3%
∆х2=6
подробнее
Заказчик
заплатил
заплатил
200 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
29 апреля 2018
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Методы оптимальных решений .docx
2018-05-02 17:18
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Мне еще не поставили оценку, но анализируя работу и сопоставляя её со своими собственными решениями, хотелось бы признать высокий профессионализм Нины в бухгалтерской сфере и выразить ей свою благодарность. Нина благодарю Вас, что Вы есть!!!
Хочешь такую же работу?
300 ₽
