Особые точки функций комплексного переменного и их изучение с помощью Maple

Введение

По определению, которое было предложено В.П.Дьяконовым – системы компьютерной математики (СКМ) – это программные средства, с помощью которых можно автоматизировать выполнение как численных, так и аналитических (символьных) вычислений и расчетов [2].
Первые СКМ появились на рынке программных средств в 60-х годах ХХ века. Самое бурное период их развития приходится на 90-е годы ХХ века. Современные СКМ оснащены удобным интерфейсом и мощным графическим инструментарием, в них реализовано значительное количество стандартных и специальных математических операций, функций и методов. Определяющими характеристиками современных СКМ является наличие собственных языков программирования, средств подготовки математических текстов к печати, обеспечение возможностей осуществлять импорт данных для использования других программных продуктов, в частности, электронных таблиц, и экспорт данных в них [1].
Каждая из СКМ имеет определенные нюансы в архитектуре, однако все они имеют типовую структуру, составляющими которой является вычислительное ядро системы, библиотеки процедур и функций, пакеты расширений, справочная система и интерфейс пользователя [2].
Одним из ярких представителей СКМ является программная среда WinMaple, которая характеризуется наилучшим, среди всех СКМ ядром символьных вычислений, высокой точностью вычислений, возможностью осуществления ввода математических соотношений в привычной нотации, структурированностью документов и удобностью интерфейса.
Результаты исследования показывают целесообразность использования СКМ и в частности WinMaple в качестве эффективного инструментального средства при изучении высшей математики в высших учебных заведений, которое применяется практически во всех ведущих университетах мира.
Теория функций комплексной переменной (ТФКП) занимает одно из главных мест в курсе математики высшей школы. ТФКП имеет много практических применений [1, 2]. Методами ТФКП решают некоторые задачи картографии, теории упругости, гидро-, аэро - и электродинамики.
Функции комплексной переменной применяются для решения задач квантовой теории, в изучении движения небесных тел и во многих других отраслях науки и техники. Вместе с практическими применениями теория аналитических функций используется в решении теоретических проблем математики, в частности, в теории чисел. С помощью таких функций вычисляют сложные интегралы, решают дифференциальные уравнения и т.п.
Темой выпускной квалификационной работы является исследование возможности применения средств WinMaple для решения практических задач определения и изучения особых точек функций комплексного переменного в курсе высшей математики высшего учебного заведения.
Целью выпускной квалификационной работы является разработка методических рекомендаций для решения практических задач определения и изучения особых точек функций комплексного переменного в курсе высшей математики высшего учебного заведения.
Структурно работа состоит из 2-х глав, заключения и введения.
В введении расмотрены аспекты применения систем компьютерной математике в учебном процессе.
В первой главе работы рассмотрены вопросы, связанные с использованием WinMaple в качестве инструментального средства для получения компетенций студентами при изучении высшей математики, теоретические и практические аспекты определения и изучения особых точек функций комплексного переменного.
Во второй главе работы рассмотрены вопросы, связанные с разработкой методических рекомендаций для решения практических задач определения и изучения особых точек функций комплексного переменного в курсе высшей математики высшего учебного заведения.
В заключении работы сделаны общие выводы по работе по изучению темы, данны методические рекомендации по проведению занятий.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3
1. Анализ задач и выбор инструментальных средств для определения и изучения особых точек функций комплексного переменного 6
1.1 Анализ возможностей WinMaple для применения решений практических задач в курсе "Высшей математики" 6
1.2 Задачи определения и изучения особых точек функций комплексного переменного 10
1.2.1 Определение нулей аналитических функций 10
1.2.2 Нахождение особых точек и определение их типа у рациональных рядов 11
1.2.3 Ряды Лорана 12
1.3 Применение WinMaple для решения задач определения и изучения особых точек функций комплексного переменного 14
1.3.1 Определение нулей аналитических функций 14
1.3.2 Нахождение особых точек и определение их типа у рациональных функций 17
1.2.3 Ряды Лорана 20
2 МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПОМОЩЬЮ MAPLE 28
2.1 Дидактический материал 28
2.2 Формы активизации познавательной деятельности и пути преодоления трудных мест 34
2.3 Формирование предложений в Перспективно-тематический план по высшей математике 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
ЛИТЕРАТУРА 48

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение темы «Изучение особых точек комплексного переменного» в курсе "Высшей математики" для студентов Высших учебных заведений имеет большое значение, во-первых, это связано с тем, что изучаемые вопросы определены учебным планом дисциплины, а во-вторых являются достаточно важными с точки зрения предоставления обучаемым знаний о понятии комплексных переменных и работе с ними, свойствах, способах использования для решения других практических задач.
ТФКП занимает одно из главных мест в курсе математики высшей школы. ТФКП имеет много практических применений [1, 2]. Методами ТФКП решают некоторые задачи картографии, теории упругости, гидро-, аэро - и электродинамики. Функции комплексной переменной применяются для решения задач квантовой теории, в изучении движения небесных тел и во многих других отраслях науки и техники. Вместе с практическими применениями теория аналитических функций используется в решении теоретических проблем математики, в частности, в теории чисел. С помощью таких функций вычисляют сложные интегралы, решают дифференциальные уравнения и т.п
В рамках выполнения дипломной работы, в соответствии с полученным заданием были изучены вопрос, связанные с исследованием Особых точек функций комплексного переменного и их изучение с помощью Maple для дисциплины "Высшая математика" для обучения студентов высшего учебного заведения.
В работе рассмотрены Методические особенности изучения различных аспектов изучаемой темы в курсе Высшей математики. Проведен дидактический анализ темы, проанализирована Основная литература и качество изложения темы в рекомендованных учебниках. Рассмотрены формы активизации познавательной деятельности и пути преодоления трудных мест. В рамках второго раздела в работе Сформированы предложения в Перспективно-тематический план по информатике
Содержание курса высшей математики в высшем учебном заведении определяется типовой программой и созданными на кафедрах рабочими программами. Рабочие программы и планы учитывают не только общие обязательные положения курса высшей математики, но и ее прикладные аспектов ты, необходимые для глубокого изучения специальных дисциплин при подготовке бакалавров и магистров. Однако количество часов в курс высшей математики в учебных планах в настоящее время определяется без участия специалистов и поэтому не всегда обоснованно.
Использование СКМ иллюстрирует возможности компьютера, позволяет акцентировать внимание на прикладных задачах, особенностях численного и символьного решения задач, выяснять границы применения компьютеров и математических методов, а так же существенно повышают заинтересованность студентов в глубоком изучении математики, помогают усвоить структурные связи различных разделов курса. Деятельность преподавателя направляется на то, чтобы студент осознал, что при подготовке к инженерной деятельности без знаний по курсу высшей математики не может сформироваться специалист. Знания по математике относятся к фундаментальной системы знаний, на базе которой строится обучение студентов.
Применение информационно-коммуникационных технологий обучения позволяет значительно эффективнее решать противоречия между формально логическим изучением курсов математики и эвристической деятельностью инженера путем интенсивного и систематического внедрения адаптированных в учебный процесс задач; между объемом знаний и временем на овладение ими за счет одновременного использования всех способов представления информации.
Обоснованное отражение в содержании курса высшей математики дидактических принципов должно способствовать решению проблемы наполнения осовремененным содержанием курс высшей математики в технических университетах в условиях использования современных информационных и компьютерных технологий.
Предлагаемая структура занятия оставляет преподавателю времени на выполнение каждым студентом большего количества индивидуальных заданий по данной теме, а также на проверку результатов. Кроме того, появляется возможность включить в работу всех студентов, даже с очень невысоким уровнем знаний, что невозможно в этой теме за традиционного ее преподавания. Результаты внедрение компьютерной техники в учебный процесс показали, что студенты лучше усваивают материал и осознают взаимосвязь между понятиями, которые изучаются. Также студенты приобретают опыта использования современных информационных технологий в будущей профессиональной деятельности

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. — М. : Наука, 1987. — 688 с.
2. Радыгин В. М. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники : учеб. пособие для пед. Вузов / Радыгин В. М., Голубева О. В. — М. : Высш. школа, 1983. — 160 с.
3. Раков С. А. Компьютерные эксперименты в геометрии : учеб. пособие для учащихся по курсу геометрии / Раков С. А., Горох В. П. – Х. : РЦНИТ, 1996. –175 с.
4. Клочко Т. В., Парфёнова Н. Д. Решение задач комплексного анализа средствами Maple / Клочко Т. В., Парфёнова Н. Д.. – ХНУ, 2009. – 69 c. (http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/1390)
5. Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании / Дьяконов В. П. – М. : СОЛОН-Пресс, 2004. – 688 с.
6. Матросов А. В. Maple 6 Решение задач высшей математики и механики / Матросов А. В. – Санкт-Петербург : БХВ-Санкт-Петербург, 2001. – 528 с.
7. Сдвижков О. A. Математика на компьютере: Maple 8 / Сдвижков О. A. – М. : СОЛОН-Пресс, 2003. – 176 с.
8. Garvan F. The Maple Book. – Chapman & Hall/Crc, 2002. – 463 p.
9. Mathews J. H., Howell R. W. Complex Analysis for Mathematics and Engineering – Jones and Bartlett Publishers , 2006. – 484 p.
10. Стахин Н. А. Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima / Стахин Н. А. — М. : МГУ, 2008. — 86 с.
11. Триус Ю. В. Комп’ютерно-орієнтовані методичні системи навчання математики : [монографія] / Юрій Васильович Триус. – Черкаси : Брама-Україна, 2005. – 400 с.
12. Дьяконов В. П. Компьютерная математика / В. П. Дьяконов // Со- росовский образовательный журнал. Том 7. – 2001. – № 11. – С. 116–121.
13. Паньков А. В. Применение компьютерных математических систем для решения задач с экономическим содержанием на уроках математики в школе / А. В. Паньков // Известия Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена. Аспирантские тетради. – СПб., 2008. – № 37(80). – С. 467–472.
14. Попадьина С. Ю. Исследовательская работа по алгебре с использованием системы компьютерной математики Mathcad и средства ее реализации в основной и средней школе / С. Ю. Попадьина // Применение новых технологий в образовании : Материалы XVII Международной конференции (г. Троицк, Московской области, 28–29 июня 2006 г.). – М., 2006. – С.207–208.
15. Ивановский Р. И. Системы компьютерной математики в школе (первый опыт) [Электронный ресурс] / Р. И. Ивановский – Режим досту- пу : http://mas.exponenta.ru/Literatura/total.pdf.
16. Позняк Ю. В. Введение в системы компьютерной математики :
17. Атанов Г.А. Пустынникова И.Н. Обучение и искусственный интеллект или основы дидактики высшей школы. - До- нецк: ДОУ, 2002. – 504 с
18. Бурда М.І. Методичні основи ди- ференційованого формування геометричних умінь учнів основної школи. Автореф. дис.... . докт. педагог. наук. К., 1994. – 36 с.
19. Говорухин В., Цибулин В. Ком пьютер в математическом исследовании Maple, MATLAB, LaTeX. СПб.:ІІитер, 2001.
20. Ильина В. А. Система аналитических вычислений Maxima для физиков- теоретиков / Ильина В. А., Силаев П. К.. — М. : МГУ, 2007. — 86 с.
21. Клочко В. І. Застосування новітніх інформаційних технологій при вивченні вищої математики у технічному вузі : навч.-метод. посіб. / В. І. Клочко. — Вінниця : ВДТУ, 1997. — 300 с.
22. Співаковський О. В. Теорія і практика використання інформаційних технологій у процесі підготовки студентів математичних спеціальностей : монографія/ Співаковський О. В. – Херсон : Айлант, 2003. – 228 с.
23. Львов М. С. Концепція програмної системи підтримки математичної діяльності / Львов М. С. // Комп’ютерно-орієнтовані системи навчання : зб. наук. пр. – К. : НПУ ім. М. П. Драгоманова, 2003. – Вип. 7. – С. 36–48.