Спасибо большое автору! Работа выполнена очень большая и раньше срока! Всё четко! Автора советую
Информация о работе
Подробнее о работе
Управление хаотической динамикой
- 33 страниц
- 2016 год
- 87 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Данная курсовая работа посвящена вопросам анализа поведения нелинейных систем обладающих хаотической динамикой. А именно, рассматриваются системы нелинейные дифференциальных уравнений, обладающие хаотическими аттракторами и для этих систем ставятся задачи
• нахождения особых точек;
• линеаризации модели в особых точках;
• нахождения собственных чисел матрицы Якоби и проверка особых точек на гиперболичность;
• определения вида особых точек;
• определения характеристических показателей Ляпунова;
• построения переходных процессов, исследование зависимости от начальных условий;
• исследования инвариантной меры;
• исследования эргодичности и перемешивания;
• определения типа аттрактора;
• определения размерности аттрактора;
• вычисления энтропии;
• вычисления автокорреляционной функции;
• вычисления характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям.
Если обратится к истории, то согласно философии древних греков термин хаос означал некоторую беспорядочную смесь материальных элементов мира, из которой произошло все сущее. В современном толковании термин употребляется для обозначения крайнего беспорядка, неорганизованности и т.д. В современном научном языке термин «хаос» или чаще «детерминированный хаос», получил широкое употребления после статьи Т. Ли и Дж. Йорке [8], которая вышла в 1975 г.
Можно различными способами дать строгое математическое определение хаоса, однако все такие определения будут выражать близкие по типу свойства динамических систем, связанные со «сверхчувствительностью» к начальным условиям: согласно определению даже очень близкие траектории будет расходится на некоторое конечное расстояние через некоторое время. Таким образом, прогноз траектории на длительное время оказывается невозможен. Следует заменить, что в данной ситуации каждая из траекторий может быть ограниченна. Данный факт противоречит нашему интуитивному восприятию неустойчивости, которое основано, прежде всего, на опыте работы с линейными системами.
Для нелинейных детерминированных систем подобное свойство «не близости траекторий» является достаточно типичным. Кроме того многие процессы, которые встречаются в прикладных областях науки, хорошо описываются при помощи моделей, которые обладают хаотическим поведением, и как правило, такие модели обладают более подходящими свойствами при описании нерегулярных колебаний и неопределенности, по сравнению со стохастическими и вероятностными моделями. Класс систем, которые являются генераторами псевдослучайных чисел, также является примером хаотических систем.
Оказалось, что для хаотических систем может иметь место следующее свойство: даже очень малое изменение параметров может существенно изменить поведение системы. Это замечательное свойство впервые было обнаружено в 1990 г. в работе Дж. Йорке с соавторами [9]. Так малое управляющее воздействие в виде обратной связи для хаотической нелинейной системы может привести к тому, что вместо траекторий, которые хаотически колебались, мы получим периодические траектории. Возможность такого коренного изменения динамики поведения систем является замечательным свойством, которое присуще только нелинейным системам и не наблюдается при анализе линейных систем.
После выхода работы [9] интерес к данной тематике чрезвычайно возрос и на данный момент существует очень большое количество публикаций, в которых как экспериментальными способами, так и способами компьютерного моделирования, демонстрируется, как управление (с обратной связью или без нее) влияет на поведение многочисленных реальных и модельных физических систем.
Следует отметить, что основания математического инструментария для исследования хаотических систем были заложены в 1960–1970-х годах такими выдающимися отечественными математиками как А.Н. Колмогоровым, В.И. Арнольдом, Д.В.Аносовым, В.К.Мельниковым, Я.Г. Синаем, Ю.И. Неймарком, Л.П. Шильниковым и их учениками.
Далее в курсовой работе будут приведены необходимые определения и утверждения относящиеся к свойствам дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, приведено описание и анализ перечисленных выше задач.
Введение 3
Модели нелинейной системы с хаотической динамикой 6
Особые точки нелинейной модели 9
Линеаризация модели в особых точках 10
Нахождение собственных чисел матрицы Якоби и проверка, особых точек на гиперболичность 12
Определение вида особых точек 14
Определение характеристических показателей Ляпунова 16
Построение переходных процессов, исследование зависимости от начальных условий 17
Инвариантная мера 18
Эргодичность и перемешивание 19
Определение типа аттрактора 20
Размерность аттрактора 25
Вычисление энтропии 28
Вычисление автокорреляционной функции 29
Вычисление характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям 30
Заключение 31
Список литературы 32
В данной курсовой работе рассмотрены вопросы поведения нелинейных систем дифференциальных уравнений обладающих хаотической динамикой. Рассмотрены следующие задачи: нахождения особых точек; линеаризации модели в особых точках; нахождения собственных чисел матрицы Якоби и проверка особых точек на гиперболичность; определения вида особых точек; определения характеристических показателей Ляпунова; построения переходных процессов, исследование зависимости от начальных условий; исследования инвариантной меры; исследования эргодичности и перемешивания; определения типа аттрактора; определения размерности аттрактора; вычисления энтропии; вычисления автокорреляционной функции; вычисления характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям. Рассмотренные вопросы сопровождаются примерами.
1. Магницкий Н.А., Сидоров С.В., Новые методы хаотической динамики, М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.
2. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003.
3. Шашихин В. Н. Хаос и нелинейная динамика. Регулярная и хаотическая динамика: учеб. пособие / В.Н. Шашихин. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 210 с.
4. Малинецкий Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. - М. : Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.
5. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. I. Методы. Автоматика и телемеханика. 2003, (5). C.3-45.
6. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. II. Приложения. Автоматика и телемеханика. 2004, (4), C.3-34.
7. Li T., Yorke J.A. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. pp. 985—992.
8. Гукенхеймер Дж., Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.: Изд-во УРСС, 2002.
9. Ott E., Grebogi C., Yorke G. Controlling chaos. Phys. Rev. Lett. 1990. V.64. (11) 1196—1199.
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
