Благодарю автора за ответственное отношение к выполнению заказа.
Информация о работе
Подробнее о работе
Приложение для решения СЛАУ методом LLT - разложения
- 27 страниц
- 2015 год
- 184 просмотра
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Введение 3
Глава 1. Теоретические аспекты задачи, математическая формулировка медтода 5
1.1. Численные методы решения СЛАУ 5
1.2. Математическая формулировка метода 6
Глава 2. Разработка приложения для решения СЛАУ методом LLT-разложения 9
2.1. Реализация алгоритма 9
2.2. Описание тестовых задач 12
2.3. Инструкция программиста 16
2.4. Инструкция пользователя 17
Заключение 20
Список использованной литературы 21
Приложение 22
1.1. Численные методы решения СЛАУ
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
где А – квадратная невырожденная матрица размерности ; – вектор-столбец неизвестных, b – вектор-столбец свободных членов размерности,
разделяют на две группы:
– Точные, или прямые. К этой группе принадлежит известное правило Крамера, которое требует выполнения арифметических операций, и различные модификации метода Гаусса, которые требуют выполнения арифметических операций и которые используют для решения систем порядка;
– Итерационные (приближенные) методы. Вычислительные затраты на них зависят от числа итераций, требуемой точности и выбора начального приближения, но в общем эти затраты гораздо меньшие, чем при использовании точных методов, что дает возможность решать системы порядка .
...
1.2. Математическая формулировка метода
Метод LLT – разложения применим к матрицам с отличными от нуля главными минорами. Такие матрицы всегда представимы в виде произведения двух треугольных матриц: , где
; .
Тогда система линейных алгебраических уравнений
(1)
примет вид
; (2)
. (3)
Прямой ход здесь – это решение системы (2), обратный – решение системы (3). Элементы матриц L и U вычисляют последовательно: сначала – элементы первого столбца матрицы L, потом – первой строки матрицы U и первый элемент вектора y; далее – второй столбец матрицы L, вторую строку матрицы U и второй элемент вектора y и так далее:
; ; ; ; ;
, ;
, ;
, .
Во время обратного хода определяют неизвестные :
;
; .
Случается, что невырожденную матрицу А нельзя непосредственно представить в виде A=LU.
...
2.1. Реализация алгоритма
В качестве основного языка программирования для решения СЛАУ по методу LLT – разложения был выбран язык Delphi. Приложение для решения СЛАУ методом LLT-разложения включает в себя панель из двух полей для введения матрицы и вывода результата. Размерность матрицы изменяется ползунком. Приложение универсально, т. к. оно получает решение по методу для любого количества уравнений в системе.
Для реализации пользовательского интерфейса добавим на форму следующие компоненты:
1. TMainMenu предназначен для добавления к программе главного меню, без которого не обходится практически ни одно из приложений Windows. TMainMenu объединяет строку меню и раскрывающийся список в форме. Меню предоставляет возможность объединения меню нескольких форм.
2. TLabel служит для отображения текста на экране. Можно изменить шрифт и цвет метки, если дважды щелкнуть на свойство Font в Инспекторе Объектов. Он представляет собой статический текст.
...
2.2. Описание тестовых задач
Исследуем влияние обусловленности и разрешённости матрицы на точность полученного решения.
Матрица называется плохо обусловленной, если существует такая матрица , что при небольших возмущениях коэффициентов матриц и произойдут большие изменения в . Система плохо обусловлена, когда матрица плохо обусловлена. В этом случае численные методы приближённого вычисления могут привести к большим ошибкам.
Плохая обусловленность возникает тогда, когда матрица «почти вырождена» и определитель близок к нулю.
Исследуем влияние мерности матрицы на точность полученного решения.
Для проведения необходимого исследования определим входные параметры, задающие текущие состояния матрицы, исходя из того, что необходимо исключить влияние остальных признаков.
Оценку проведём по невязке , где – полученное решение.
Начиная с двухмерной матрицы будем производить её последовательное наращивание до мерности n = 10 по следующему шаблону:
Выбор чисел случаен, т.
...
2.3. Инструкция программиста
После запуска программы на экран выводится форма Form1, на которой расположены следующие компоненты:
1. TLabel
2. TButton
При нажатии на кнопку на экран выводится основная форма Form2, на которой расположены следующие компоненты:
1. TMainMenu
2. TLabel
3. TrackBar
4. TGroupBox
5. TBitBtn
6. TStaticText
7. TStringGrid
8. TOpenDialog
Мы переходим к форме работы с полями, представляем их в виде матриц (размерность матрицы изменяется с помощью ползунка).
Коэффициенты матрицы вводятся вручную. При нажатии кнопки «Ввести коэффициенты» не заполненные ячейки матрицы автоматически заполняются нулями (если главные миноры матрицы будут равны нулю то программа выдаст «ДЕЛЕНИЕ НА 0, А ЗНАЧИТ,ЧТО НЕВОЗМОЖНО ПРИМЕНИТЬ АЛГОРИТМ LLT-РАЗЛОЖЕНИЯ» ).
Когда коэффициенты введены, для вывода результатов нажимаем кнопку «Решение». В нижнем поле появится решение.
2.4. Инструкция пользователя
Запуск программы осуществляется из папки, содержащей файл с помощью LLT.exe. После запуска программы на экран выводится форма, на которой расположены следующие объекты:
1. Титульный лист;
2. Кнопка для перехода к программе.
Рис.2. Титульный лист программы.
При переходе к программе на экран выводится основная форма:
Рис.3. Основное окно программы.
Она состоит из следующих пунктов:
1. Ползунок – с его помощью изменяем размер матрицы;
2. Кнопки – для проверки и вывода результатов.
3. Поля – для ввода коэффициентов и для результатов.
В начале работы вводятся коэффициенты, для быстроты заполнения матрицы нули можно не в выводить при нажатии кнопки «Ввести коэффициенты» не заполненные ячейки матрицы автоматически заполнятся нулями, только надо не забывать, что главные миноры матрицы должны быть отличны от нуля.
После того, как будут введены коэффициенты, можно нажимать кнопку «Показать решение».
Рис.4.Прмер работы программы.
...
Список использованной литературы
1. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие. / Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк. 2000. – 190 с.
2. Вычислительная математика в примерах и задачах – М: Наука, 2009. – 368с.
3. Ващенко Г.В. Вычислительная математика. Основы конечных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. – Красноярск: СибГТУ, 2005. –75с.
4. Культин Н. Б. Основы программирования в Delphi 7. – СПб.: БХВ-Петербург, 2007. – 608 с.
5. Архангельский А.Я.Программирование в Delphi для Windows.: – Санкт-Петербург: Бином-Пресс, 2007 .– 1248 с.
6. Образовательный портал (математическая сеть имени Леонарда Эйлера) [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.mathscinet.ru/calculations
7. Сайт для программистов в среде Delphi [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://delphi-faq.ru
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
