ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАДАНИЕ 1

1. В некотором районе на учете в налоговой инспекции зарегистрировано 13 фирм, среди которых 8 – не платят налоги. Налоговый инспектор случайным образом выбирает из перечня 4 фирмы. Найти вероятность того, что фирмы, которые будут выбраны, окажутся такими, которые не платят налоги.
2. В группе 12 студентов, среди которых у 6 есть персональный компьютер. По списку случайным образом отобраны 8 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов у 4 есть персональный компьютер.
3. Найти вероятность максимального выигрыша в лотерею: угадать 6 чисел из 50 возможных значений этих чисел.
4. В ящике 11 денежных купюр, из которых 7 – стоимостью 20 грн. Кассир случайным образом взял 3 купюры. Найти вероятность того, что хотя бы одна из купюр будет стоимостью 20 грн.
5. Для сигнализации о пожаре в комнате установлены два независимо действующих сигнализатора, один из которых включится в случае пожара с вероятностью 0,95, а второй – с вероятностью 0,75. Найти вероятность того, что в случае пожара: а) оба сигнализатора включатся; б) хотя бы один сигнализатор включится; в) ровно один сигнализатор включится.
ЗАДАНИЕ 2

1. На базаре торгует 11 мужчин и 5 женщин. По номерам торговых мест случайным образом отобрано 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные люди окажутся мужчинами.
2. При проверке киоска, торгующего ликероводочными изделиями, инспектор налоговой милиции увидел три ящика. В первом содержится 22 бутылки, из них 16 – с акцизной маркой, во втором 34 бутылки, из них 25 – с акцизной маркой, в третьем 14 бутылок, из них – 8 с акцизной маркой. Найти вероятность того, что случайным образом вытянутая бутылка из наугад выбранного ящика имеет акцизную марку.
3. Вероятность того, что товар, нужный клиенту, есть в магазине, равна 0,46. Вероятность того, что этот товар есть в соседнем киоске, равна 0,88. Из обеих торговых точек часть товаров (43%) продано. Найти вероятность того, что клиент купит нужный ему товар. Использовать формулу вероятности возникновения любого из независимых событий.
4. Из 100 бизнесменов, собравшихся на презентацию, имеют пластиковые депозитные карточки “Visa” 26 человек, “American Express” – 32 человека, “Master Card” – 43 человека, “Visa” и “American Express” вместе имеют 6 человек, “Visa” и “Master Card” – 12 человек, “American Express” и “Master Card” – 8 человек, все три типа карт имеют 2 человека. Сколько бизнесменов не имеют карточек?
ЗАДАНИЕ 3

1. Количество грузовых автомобилей, которые проезжают по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, которые проезжают по тому же шоссе как 3/2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равняется 0,3; для легковой машины эта вероятность составляет 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того. Что это грузовая машина.
2. В отделе технического контроля работает мастер, проверяющий 70% произведенных изделий, и ученик, проверяющий 30% изделий. Мастер замечает брак в 89% случаев, тогда как ученик – только в 75% случаев. Изделий, прошедшее контроль, оказалось дефектным и было возвращено покупателем. Найти вероятность, что: а) данное изделие проверял мастер; б) данное изделие проверял ученик.
3. В супермаркете 9 кассиров. Для каждого кассира вероятность того, что он в данный момент занят клиентом, равна 0,5. Найти вероятность того, что в данный момент: а) заняты клиентами 4 кассира; б) все кассиры заняты клиентами; в) все кассиры не заняты. Распределение числа клиентов подвергается закону Бернулли.
4. Вероятность того, что лотерейный билет будет выигрышным, равна 0,9. Найти вероятность того, что у человека, который купил лотерейные билеты, выигрышными будут не менее 3 билетов, если будет куплено 5 билетов. Распределение числа билетов подвергается закону Бернулли.
ЗАДАНИЕ 4

1. Предоставлен перечень возможных значений дискретной случайной величины Х – сумма штрафов, (в тыс. грн.), которые были уплачены фирмой в налоговую инспекцию за нарушения в порядке отчетности х1=1, х2=2, х3=3; а также математическое ожидание этой величины и ее квадрата: М(Х)=1,9; М(Х2)= 4,3. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.
2. Отдел технического контроля проверяет изделий на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,75. В каждой партии содержится 8 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х – числа партий, в каждой из которых появится ровно 7 стандартных изделий, если проверке подлежат 55 партий.
3. Коммерческая фирма составляет план возможных доходов от финансовой операции, которая планируется Х – 3; 4; -2; -5. (сотен тыс. грн.). Вероятности этих доходов Р – 0,3; 0,2; 0,1; 0,4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение возможных доходов фирмы и определить целесообразность этой операции.4. В осветительную сеть параллельно включено 60 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, составляет 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина (разница) между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше 5; б) не меньше 5.
ЗАДАНИЕ 5

1. Прирост производства на угольной шахте, в тыс. тонн, - Х – заданный законом распределения Х={2, 4, 5}; Р={0,4;0,5;0,1}. Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
2. Уровень инвестиционных поступлений на предприятие, в млн. грн. – Х – задан таким законом распределения: Х={5,2}; Р={0,6;0,4}.Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Случайная величина – колебания курса валют относительно некоторого среднего значения, задана интегральной функцией:
F(x)={█(0,x≤-2@0,5+1/π arcsin x/2,-2≤x≤2@1,x≥2)┤
Найти вероятность того, что величина Х примет значение, установленное в интервале [-0,5;0]
4. Случайная величина Х – колебания депозитных ставок относительно уровня ставки рефинансирования НБУ, задана дифференциальной функцией f(x)=Ax (где А – константа, значение которой нужно определить) в интервале [-0,3;1,7], вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Х.
ЗАДАНИЕ 6

1. Автомат по продаже прохладительных напитков есть круг, вдоль которого расположены окошечки. Движение этого круга равномерное. Из каждого окошка можно получить бутылку с напитком через 5 минут. Найти вероятность того, что клиент, который подошел к определенному окошечку этого автомата, будет ожидать свою бутылку меньше 2-х минут. Задачу решать по формуле равномерного распределения.
2. Операционист в банке обслуживает 1000 клиентов. Вероятность прихода клиента на протяжении одной минуты равна 0,005. Найти вероятность того, что на протяжении одной минуты придет 2 клиента. Задачу решать по формулам потока событий Пуассона.
3. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что за одну минуту абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Какое из двух событий вернее: на протяжении одной минуты позвонит 4 абонента; позвонит 6 абонентов? Задачу решать по формулам потока событий Пуассона.

ЗАДАНИЕ 1

1. В некотором районе на учете в налоговой инспекции зарегистрировано 13 фирм, среди которых 8 – не платят налоги. Налоговый инспектор случайным образом выбирает из перечня 4 фирмы. Найти вероятность того, что фирмы, которые будут выбраны, окажутся такими, которые не платят налоги.
2. В группе 12 студентов, среди которых у 6 есть персональный компьютер. По списку случайным образом отобраны 8 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов у 4 есть персональный компьютер.
3. Найти вероятность максимального выигрыша в лотерею: угадать 6 чисел из 50 возможных значений этих чисел.
4. В ящике 11 денежных купюр, из которых 7 – стоимостью 20 грн. Кассир случайным образом взял 3 купюры. Найти вероятность того, что хотя бы одна из купюр будет стоимостью 20 грн.
5. Для сигнализации о пожаре в комнате установлены два независимо действующих сигнализатора, один из которых включится в случае пожара с вероятностью 0,95, а второй – с вероятностью 0,75. Найти вероятность того, что в случае пожара: а) оба сигнализатора включатся; б) хотя бы один сигнализатор включится; в) ровно один сигнализатор включится.
ЗАДАНИЕ 2

1. На базаре торгует 11 мужчин и 5 женщин. По номерам торговых мест случайным образом отобрано 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные люди окажутся мужчинами.
2. При проверке киоска, торгующего ликероводочными изделиями, инспектор налоговой милиции увидел три ящика. В первом содержится 22 бутылки, из них 16 – с акцизной маркой, во втором 34 бутылки, из них 25 – с акцизной маркой, в третьем 14 бутылок, из них – 8 с акцизной маркой. Найти вероятность того, что случайным образом вытянутая бутылка из наугад выбранного ящика имеет акцизную марку.
3. Вероятность того, что товар, нужный клиенту, есть в магазине, равна 0,46. Вероятность того, что этот товар есть в соседнем киоске, равна 0,88. Из обеих торговых точек часть товаров (43%) продано. Найти вероятность того, что клиент купит нужный ему товар. Использовать формулу вероятности возникновения любого из независимых событий.
4. Из 100 бизнесменов, собравшихся на презентацию, имеют пластиковые депозитные карточки “Visa” 26 человек, “American Express” – 32 человека, “Master Card” – 43 человека, “Visa” и “American Express” вместе имеют 6 человек, “Visa” и “Master Card” – 12 человек, “American Express” и “Master Card” – 8 человек, все три типа карт имеют 2 человека. Сколько бизнесменов не имеют карточек?
ЗАДАНИЕ 3

1. Количество грузовых автомобилей, которые проезжают по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, которые проезжают по тому же шоссе как 3/2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равняется 0,3; для легковой машины эта вероятность составляет 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того. Что это грузовая машина.
2. В отделе технического контроля работает мастер, проверяющий 70% произведенных изделий, и ученик, проверяющий 30% изделий. Мастер замечает брак в 89% случаев, тогда как ученик – только в 75% случаев. Изделий, прошедшее контроль, оказалось дефектным и было возвращено покупателем. Найти вероятность, что: а) данное изделие проверял мастер; б) данное изделие проверял ученик.
3. В супермаркете 9 кассиров. Для каждого кассира вероятность того, что он в данный момент занят клиентом, равна 0,5. Найти вероятность того, что в данный момент: а) заняты клиентами 4 кассира; б) все кассиры заняты клиентами; в) все кассиры не заняты. Распределение числа клиентов подвергается закону Бернулли.
4. Вероятность того, что лотерейный билет будет выигрышным, равна 0,9. Найти вероятность того, что у человека, который купил лотерейные билеты, выигрышными будут не менее 3 билетов, если будет куплено 5 билетов. Распределение числа билетов подвергается закону Бернулли.
ЗАДАНИЕ 4

1. Предоставлен перечень возможных значений дискретной случайной величины Х – сумма штрафов, (в тыс. грн.), которые были уплачены фирмой в налоговую инспекцию за нарушения в порядке отчетности х1=1, х2=2, х3=3; а также математическое ожидание этой величины и ее квадрата: М(Х)=1,9; М(Х2)= 4,3. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.
2. Отдел технического контроля проверяет изделий на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,75. В каждой партии содержится 8 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х – числа партий, в каждой из которых появится ровно 7 стандартных изделий, если проверке подлежат 55 партий.
3. Коммерческая фирма составляет план возможных доходов от финансовой операции, которая планируется Х – 3; 4; -2; -5. (сотен тыс. грн.). Вероятности этих доходов Р – 0,3; 0,2; 0,1; 0,4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение возможных доходов фирмы и определить целесообразность этой операции.4. В осветительную сеть параллельно включено 60 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, составляет 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина (разница) между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше 5; б) не меньше 5.
ЗАДАНИЕ 5

1. Прирост производства на угольной шахте, в тыс. тонн, - Х – заданный законом распределения Х={2, 4, 5}; Р={0,4;0,5;0,1}. Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
2. Уровень инвестиционных поступлений на предприятие, в млн. грн. – Х – задан таким законом распределения: Х={5,2}; Р={0,6;0,4}.Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Случайная величина – колебания курса валют относительно некоторого среднего значения, задана интегральной функцией:
F(x)={█(0,x≤-2@0,5+1/π arcsin x/2,-2≤x≤2@1,x≥2)┤
Найти вероятность того, что величина Х примет значение, установленное в интервале [-0,5;0]
4. Случайная величина Х – колебания депозитных ставок относительно уровня ставки рефинансирования НБУ, задана дифференциальной функцией f(x)=Ax (где А – константа, значение которой нужно определить) в интервале [-0,3;1,7], вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Х.
ЗАДАНИЕ 6

1. Автомат по продаже прохладительных напитков есть круг, вдоль которого расположены окошечки. Движение этого круга равномерное. Из каждого окошка можно получить бутылку с напитком через 5 минут. Найти вероятность того, что клиент, который подошел к определенному окошечку этого автомата, будет ожидать свою бутылку меньше 2-х минут. Задачу решать по формуле равномерного распределения.
2. Операционист в банке обслуживает 1000 клиентов. Вероятность прихода клиента на протяжении одной минуты равна 0,005. Найти вероятность того, что на протяжении одной минуты придет 2 клиента. Задачу решать по формулам потока событий Пуассона.
3. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что за одну минуту абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Какое из двух событий вернее: на протяжении одной минуты позвонит 4 абонента; позвонит 6 абонентов? Задачу решать по формулам потока событий Пуассона.

Вариант 5

Список литературы

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. - М.: Юрайт-издат, Высшее образование, 2009.
2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по Теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие. -М.: Юрайт-издат, Высшее образование, 2009.
3) Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики./ Под ред. Н.Ш. Кремера. Учебно-справочное пособие - М.: Юрайт-издат, Юрайт-издат, , 2012.
4) Фадеева Л.Н. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций. Учебное пособие. - М.: Эксмо, 2006.
5) Фадеева Л.Н. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика: Задачи и упражнения. Учебное пособие. - М.: Эксмо, 2006.