Информация о работе
Подробнее о работе
Построение асимптотических разложений экспоненциально растущих и экспоненциально убывающих решений дифференциальных уравнений
- 32 страниц
- 2021 год
- 1 просмотр
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Введение
Одним из направлений качественной теории дифференциальных уравнений является изучение асимптотик решений дифференциальных уравнений. Определению условий, при которых решения дифференциаль-ных уравнений допускает асимптотические разложения, построению асимп-тотик и асимптотических разложений дифференциальных уравнений по-священы работы О.Л. Олейник, С.Д. Эльмана, В.Д. Репникова, П.В. Ми-хайлова, С.В. Соболева, А.М. Ильина, С.Г. Крейна и д.р.
В работе рассматривается один класс обыкновенных дифференциаль-ных уравнений второй порядка. Целью работы является доказательство воз-можности асимптотического разложения решений уравнения этого класса, а также построение в явном виде нескольких членов асимптотического раз-ложения решений одного уравнения из этого класса.
Содержание
Введение 3
Глава 1. Основные свойства асимптотических рядов 4
Глава 2. Доказательство возможности асимптотического разложения реше-ний одного класса дифференциальных уравнений 11
Глава 3. Построение асимптотических разложений некоторых решений дифференциальных уравнений 24
Заключение 31
Список литературы 32
Глава 1. Основные свойства асимптотических рядов
Определение. Пусть функция определена при , где Говорят, что функция разлагается в асимптотический ряд при , если для любого натурального и любого спра-ведливо неравенство
.
Записывается это так
при .
Теорема 1.1. При в том и только в том случае, когда выполнено одно из условий
I. , при .
II. , при .
III. , при .
Доказательство. Легко видеть, что условие I эквивалентно определе-нию асимптотического разложения функции .
Покажем, что из I следует II. Поскольку при , то если при справедливо I, то
,
т.е. справедливо II.
Из II следует III если положить .
Покажем, что из I следует III. Из III следует, что при
.
т.е. I справедливо.
Теорема доказана
Лемма 1.1. При функция единственным образом разла-гается в асимптотический рад по функциям , где то есть если при
,
то для любого натурального .
Доказательство. Из условия леммы следует, что
, (1.1)
(1.2)
Из определения асимптотического разложения получаем
(1.3)
Из (1.3) следует, что
и .
Следовательно . С учетом последнего равенства формулы (1.1) и (1.2) примут вид
(1.4)
Из определения асимптотического разложения и (1.4) следует, что
.
Воспользовавшись последними равенствами, получаем, что
Список литературы
1. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М.В. Федорюк . – М.: Наука, – 1985. – 450с.
2. Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. – М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2002. – 408с.
3. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики / М.А.Шубин. – М.: МЦНМО, 2003. – 300с.
4. Ильин А.М. Асимптотические методы в анализе / А.М. Ильин, А.Р. Данилин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 248с.
5. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Ва-сильева, А.Г. Свешников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 605с.
6. Письменный Д.Г. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Г. Письменный. – М.: АЙРИС ПРЕСС, 2008. – 605с.
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
