Работа выполнена качественно, с учетом всех пожеланий
Информация о работе
Подробнее о работе
Численное решение трехмерной обратной задачи для волнового уравнения методом граничного управления
- 70 страниц
- 2013 год
- 557 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов. Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математики. Эти уравнения характеризуются тем, что для их решения не существует единого универсального алгоритма, и большинство задач требует своего собственного особого подхода.
Все дифференциальные уравнения с частными производными делятся на три основных типа: гиперболические, параболические и эллиптические.
Наиболее известным примером уравнений гиперболического типа является волновое уравнение. Данное уравнение моделирует малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике), а также находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн.
В различных областях науки и техники с целью познания закономерностей работы некоторого объекта или природного явления проводятся эксперименты самого различного вида. Цель эксперимента - выявление главных закономерностей явления и формирование на его основе некоторой математической модели. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение такого эксперимента дорого. Примерами таковых могут служить эксперименты по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений. Отметим, что глубина самых глубоких шахт, пробуренных при помощи современнейшего оборудования, не превышает 13 км, а средний радиус Земли равен 6371 км. Таким образом, для непосредственных наблюдений колебаний Земли доступна лишь небольшая ее приповерхностная часть. При этом необходимо делать заключение о свойствах Земли (например, об изменении ее плотности с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям.
Другой пример - это медицинские исследования, направленные на выявление патологий внутренних органов человека. C открытием рентгеновских лучей человечество приобрело мощный инструмент исследования грудной клетки, костей, пищеварительного тракта, но в силу их неблагоприятного воздействия на ткани продолжались поиски менее вредного и более информативного способа изучения органов человека. Таким способом в настоящее время является ультразвуковое исследование (УЗИ), широко применяемое в медицинской практике и позволяющее достаточно просто выявлять патологии различных органов. В этом случае объект исследования также недоступен для непосредственного изучения. Мы судим о структуре и размерах органов лишь на основе косвенных данных измерений. В основе этого способа лежит анализ отраженных от органа волн.
У описанных выше примеров есть нечто общее - мы хотим определить причины, если известны полученные в результате экспериментов или наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины). К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства которых и конфигурация известны. Эти задачи к настоящему времени достаточно хорошо изучены.
К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических свойств объектов, таких, как плотность, коэффициент теплопроводности, упругие модули в зависимости от координат или в виде функций других параметров. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 3
1. НЕФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 8
2. ФОРМАЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 11
2.1. Прямая задача 11
2.2. Обратная задача 11
2.3. Метод граничного управления. Билинейные формы 12
2.4. Задача граничного управления 16
2.5. Задача нахождения массы 18
2.6. Задача восстановления плотности 19
3. ДИСКРЕТНАЯ ПОСТАНОВКА 21
3.1. Прямая задача. Метод конечных элементов (МКЭ) 21
3.2. Метод граничного управления в дискретном виде 23
3.3. Задача граничного управления в дискретном виде 23
3.4. Решение задачи нахождения массы в дискретном виде 25
3.5. Решение задачи восстановления плотности в дискретном виде 25
4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 36
ЛИТЕРАТУРА 38
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 40
П.1.1. Общее описание программы 40
П.1.2. Схема программы 43
П.1.3. Текст программы 49
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. УЧЕБНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ «BC-METHOD» 64
Численное решение трехмерной обратной задачи для волнового уравнения методом граничного управления
ЛИТЕРАТУРА
1. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.
2. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. СПб: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1999. 265 с.
3. Kabanikhin S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of inverse and ill-posed problems. 2008. 16. №4. P. 317-357.
4. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. 15. № 4. С. 309-360.
5. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1987. 332 с.
6. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. 94. № 6. С.767-770.
7. Благовещенский А. С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1971. 65. С. 28-38.
8. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2004. 304 с.
9. Natterer F, Wubbeling F. A propagation-backpropagation method for ultrasound tomography // Inverse Problems. 1995. 11. P. 1225-1232.
10. Natterer F. Reectors in wave equation imaging // Wave Motion. 2008. 45. P. 776-784.
11. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1988. 166 с.
12. Beilina L. Adaptive element/difference method for inverse lastic scattering waves // Appl. Comput. Math. 2002. 1. №2. P. 158-174.
13. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 222 с.
14. Klibanov M. V., Timonov A. Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht (The Netherlands): VSP, 2004. 279 p.
15. Clason C., Klibanov M.V. The quasi-reversibility method for thermoacoustic tomography in a heterogeneous medium // SIAM J. SCI. COMPUT. 2007. 30. №2. P. 1-23.
16. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems. 1997. 13. P. 1-45.
17. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. 23. №5. P. 1-67.
18. Pestov L. N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // Journal of inverse and ill-posed problems. 1999. 7. №5. P. 481-486.
19. Lasiecka I., Lions J-L., Triggiani R. Non homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators // J. Math. Pures Appl. 1986. 65. P. 149-192.
20. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation control and stabilization of the waves from the boundary // SIAM J. Contr. Opt. 1992. 30. P. 1024-1065.
21. kdjfdf
22. Segerlind L.J., Applied Finite Element Analysis. New York/ London/ Sydney/ Toronto: John Willey and Sons Inc, 1976. 392 p.
23. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 454 с.
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
