Работа выполнена качественно, с учетом всех пожеланий
Информация о работе
Подробнее о работе
Принцип Дирихле и его применение
- 51 страниц
- 2014 год
- 1076 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
В математике большое значение имеет так называемое "доказательство существования". Самый простой способ доказать существование объекта с заданными свойствами – это указать его и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами.
Например, чтобы доказать, что уравнение имеет решение, достаточно привести какое-то его решение. Доказательства существования такого рода называют прямыми или конструктивными. Прямыми, в частности, являются доказательства существования несоизмеримых отрезков: ведь пара диагональ и сторона квадрата прямо указаны.
Принцип Дирихле - это утверждение, согласно которому в любой совокупности из множеств, содержащих в общей сложности более элементов, есть хотя бы одно множество, содержащее не менее 2-х элементов.
Основная идея решения задач, выводимая из принципа Дирихле, заключается в следующем:
- если при разбиении множества элементов на не пересекающие части удаётся установить факт взаимосвязи между количеством элементов данного множества (N) и числом его частей (n) в виде N>n, то тогда можно утверждать, что среди этих частей такая, которая содержит более одного элемента.
По традиции в популярной литературе принцип объясняется на примере «зайцев и клеток»: "Если десять зайцев сидят в девяти клетках, то в некоторой клетке сидят не менее двух зайцев".
Объект исследования: метод решения с помощью принципа Дирихле.
Цели исследования:
- создание более полного глубокого представления об использовании принципа Дирихле при решении задач;
- повышение уровня логического мышления.
Задачи исследования:
1) проанализировать литературу по данной теме и систематизировать задачи по видам;
2) применить изученный материал к решению различных задач.
Методы исследования.
1. Анализ решений различных задач указанным методом.
2. Классификация задач по темам.
3. Самостоятельное решение задач.
ВВЕДЕНИЕ 3
I. ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ 5
1.1. Принцип Дирехле в комбинаторике 5
1.2. Принцип Дирихле, как основание для рассуждения и конструирования 13
II.ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ В ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 17
III.ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 21
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ ПРИ РЕШЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ И КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 47
ПРИЛОЖЕНИЕ 50
Итак, результатом исследовательской работы стала формулировка и доказательство принципа Дирихле, определение условий, позволяющих применять этот принцип и решение разнообразных задач, соответствующих этим условиям.
Дирихле Петер Густав Лежен (13.02.1805 Дюрен – 5.05.1859 Гетенген), немецкий математик 1831-1855 гг. профессор Берлинского, с 1855 г. Гетенгенского университетов. Основал труды в области теории чисел и математического анализа. Дирихле доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел первый член и разность которой – числа взаимно простые. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Работы Дирихле посвящены механике и математической физики.
Рассмотрим одну задачу:
В самолете летят 380 пассажиров. Докажите что по крайней мере двое из них родились в один и тот же день года.
Доказательство. Всего в году 365 или 366 дней, а пассажиров в самолете 380 – значит, их дни рождения не могут приходиться на различные дни. Вообще если пассажиров больше, чем 366, то хотя бы у двоих дни рождения совпадают. А вот если пассажиров 366 не исключено, что все они родились в разные дни года, но это маловероятно (согласно теории вероятностей в случайно выбранной группе численностью свыше 22 человек совпадение дней рождения у некоторых из них более вероятно, нежели то, что у всех дни рождения приходятся на разные дни года.)
Логический прием, использованный в приведенном доказательстве, называется принципом Дирихле – по имени Петера Густава Дирихле (1805-1895) немецкого математика, автора описанного метода. Вот общая форма принципа Дирихле:
Если k∙n 1 предмет разложен в k ящиков, то, по крайней мере, в одном из ящиков лежит не меньше, чем n 1 предмет.
Докажем это с помощью метода математической индукции.
Доказательство.
1. Докажем правильность принципа при k=1. В этом случае всего будет k∙n 1=n 1 "предметов". Если их разложить в k=1 "ящиков", то в этом ящике будет n 1 "предмет".
2. Пусть при размещении p∙n 1 "предметов" в k=p "ящиков" найдется ящик, в котором не меньше, чем n 1 "предмет".
3. Докажем истинность этого и при k=p 1. В этом случае число "предметов" равно:
(p 1)•n 1 = (n•p 1) N,
а число "ящиков" равно p 1.
Если в одном из этих "ящиков" больше, чем n "предметов", то есть не меньше, чем n 1 предмет, то утверждение доказано.
Если в этом "ящике" не больше, чем n "предметов", то в остальных p "ящиках" находятся не меньше, чем n•p 1 "предмет". А тогда, по предположению 2, найдется "ящик", в котором не меньше, чем n 1 "предмет".
Итак, в обоих случаях подтвердилось истинность утверждения для k=p 1. Принцип Дирихле доказан.
По традиции в популярной литературе принцип Дирихле объясняют на примере “зайцев” и “клеток’:
Если N зайцев сидят в n клетках и N>n, то хотя бы в одной клетке сидите более одного зайца.
Таким образом, принцип Дирихле является мощным логическим методом, с помощью которого решаются не только арифметические задачи, но и задачи с геометрическим содержанием.
1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Контрольные работы. Профильный уровень. Глизбург В.И. -М.: Мнемозина, 2009. - 39 с.
2. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. "Принцип Дирихле", Самара "Пифагор", 1997г
3. Бабинская И. Л.. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.
4. Болтянский В. Г.. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977,No2.
5. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике. Алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». Вып.22. – М., Наука, 1982.
6. Гусев, В. А., Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Пособие для учителя: Пер. со 2-го рус.изд. / В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь; Под ред. С. И. Шварцбурда. - Душанбе: Маориф, 1989. – 309с.
7. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М., МЦНМО,2004.
8. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А., Рязановский А.Р., Семенов П.В. Единый государственный экзамен 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготов¬ки учащихся / ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2007.
9. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. – М., Физматлит, 2010.
10. Зельдович Я.Б., Мышкис А.С. Элементы прикладной математики. – М., Наука, 1967.
11. Тихомиров В.Н.. Рассказы о максимумах и минимумах. Библиотечка «Квант». Вып.56. – М., Наука, 1986.
12. Единый государственный экзамен 2011. Математика. Универсальные мате¬риалы для подготовки учащихся / ФИПИ- М.: Интеллект-Центр, 2011.
13. Задачи письменного экзамена по ма¬тематике за курс средней школы. Усло¬вия и решения. Вып. 1-6, 8, 12, 14, 18, 25.- М.: Школьная Пресса, - (Библиотека журнала «Математика в школе»), 1993¬2003.
14. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Ма¬тематика ЕГЭ 2011. Типовые задания С1. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.http://alexlarin.net/ege/2011/C12011.pdf
15. Канель-Белов, А. Я., Как решают нестандартные задачи [Текст] / А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи; под ред. В. О. Бугаенко. - Изд. 6-е, стер. - М.: Изд-во МЦНМО, 2010. - 94 с.
16. Леман А. А.. Сборник задач московских математических олимпиад. Под ред. В.Г. Болтянского. М.: Просвещение, 1965.
17. Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики, [Науч.-метод.журн. "Квантор"]. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. - 94 с.
18. Муштари Д. X.. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990.
19. Математика. Типовые тестовые задания. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. М.: «Экзамен», 2013.
20. Прасолов В. В.. Задачи по планиметрии. Ч. 2. М.: Наука, 1991.
21. Рассказы о математике и математиках / [Сост. С. М. Львовский]. - М.: МЦНМО, 2000. - 123с.
22. Самое полное издание типовых ва¬риантов заданий ЕГЭ: 2012: Математика / авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семено¬ва, И.В. Ященко. - М.: АСТ: Астрель, 2011. - 93 с. (Федеральный институт пе¬дагогических измерений).
23. Фоминых Ю. Ф.. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, No3.
24. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С1 / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. - М.: МЦН-МО, 2011.
25. Энциклопедический словарь юного математика: для среднего и старшего школьного возраста / [сост. А. П. Савин]. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.
26. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. – М., Наука, 1974.
27. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). – М.,Физматлит, 2000.
28. www.alexlarin.narod.ru - сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.
29. http://eek.diary.ru/ - сайт по оказа¬нию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике.
30. www.egemathem.ru - единый госу¬дарственный экзамен (от А до Я).
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
