Спасибо за быстро выполненную работу! Надеюсь на дальнейшее сотрудничество)
Информация о работе
Подробнее о работе
В табл представлены результаты наблюдений за х1 х2 и у х1 13 5 18 5 15 6 14 28 22
- 12 страниц
- 2017 год
- 13 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Уравнение множественной регрессии.
Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTY
К матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:
1 13.5 41
1 18.5 39
1 15.6 13
1 14 47
1 28 35
1 22.2 23
1 20.7 48
1 20 14
1 13.4 11
1 29.3 23
1 18.6 50
1 23.7 33
Матрица Y
68
69
70
66
69
73
67
70
72
71
64
72
Матрица XT
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13.5 18.5 15.6 14 28 22.2 20.7 20 13.4 29.3 18.6 23.7
41 39 13 47 35 23 48 14 11 23 50 33
Умножаем матрицы, (XTX)
EQ XT X = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (12;237,5;377;237,5;5014,89;7433,4;377;7433,4;14073))
В матрице, (XTX) число 12, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы, (XTY)
EQ XT Y = \b\bc\| (\a \al \co1 \hs3 (831;16491,9;25782))
Находим обратную матрицу (XTX)-1
EQ (XT X) -1 = = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1,824;-0,0643;-0,0149;-0,0643;0,00318;4,0E-5;-0,0149;4,0E-5;0,000449))
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
EQ Y(X) = \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (1,824;-0,0643;-0,0149;-0,0643;0,00318;4,0E-5;-0,0149;4,0E-5;0,000449)) • \b\bc\| (\a \al \co1 \hs3 (831;16491,9;25782)) = \b\bc\| (\a \al \co1 \hs3 (71,203;0,13;-0,144))
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
Y = 71.2031 + 0.1303X1-0.1445X2
Коэффициент b0=71,2031 показывает среднее значение зависимой переменной у при нулевых значениях факторов. Коэффициент b1=0,1303 показывает, что при увеличении значения переменной х1 на 1 ед. значение зависимой переменной у увеличивается в среднем на 0,1303 ед. Коэффициент b2=-0,1445 показывает, что при увеличении значения переменной х1 на 1 ед. значение зависимой переменной у уменьшается в среднем на 0,1445 ед.
Матрица парных коэффициентов корреляции R.
Число наблюдений n = 12. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равной 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (12 х 4).
Матрица A, составленная из Y и X
1 68 13.5 41
1 69 18.5 39
1 70 15.6 13
1 66 14 47
1 69 28 35
1 73 22.2 23
1 67 20.7 48
1 70 20 14
1 72 13.4 11
1 71 29.3 23
1 64 18.6 50
1 72 23.7 33
Транспонированная матрица.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
68 69 70 66 69 73 67 70 72 71 64 72
13.5 18.5 15.6 14 28 22.2 20.7 20 13.4 29.3 18.6 23.7
41 39 13 47 35 23 48 14 11 23 50 33
Матрица ATA.
12 831 237.5 377
831 57625 16491.9 25782
237.5 16491.9 5014.89 7433.4
377 25782 7433.4 14073
Полученная матрица имеет следующее соответствие:
∑n ∑y ∑x1 ∑x2
∑y ∑y2 ∑x1 y ∑x2 y
∑x1 ∑yx1 ∑x1 2 ∑x2 x1
∑x2 ∑yx2 ∑x1 x2 ∑x2 2
Найдем парные коэффициенты корреляции.
EQ rxy = \f(\x\to(x • y) -\x\to(x) • \x\to(y) ;s(x) • s(y))
EQ ryx1 = \f(1374.33 - 19.79 • 69.25;5.12 • 2.55) = 0.287
EQ ryx2 = \f(2148.5 - 31.42 • 69.25;13.63 • 2.55) = -0.779
EQ rx1 x2 = \f(619.45 - 31.42 • 19.79;13.63 • 5.12) = -0.0335
Признаки x и y ∑xi EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) ∑yi EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) ∑xiyi EQ \x\to(xy) = \f(∑xi yi;n)
Для y и x1 237.5 19.792 831 69.25 16491.9 1374.325
Для y и x2 377 31.417 831 69.25 25782 2148.5
Для x1 и x2 377 31.417 237.5 19.792 7433.4 619.45
Дисперсии и среднеквадратические отклонения.
Признаки x и y EQ D(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 EQ D(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 EQ s(x) = \r(D(x)) EQ s(y) = \r(D(y))
Для y и x1 26.197 6.521 5.118 2.554
Для y и x2 185.743 6.521 13.629 2.554
Для x1 и x2 185.743 26.197 13.629 5.118
Матрица парных коэффициентов корреляции R:
- y x1 x2
y 1 0.2871 -0.7788
x1 0.2871 1 -0.03352
x2 -0.7788 -0.03352 1
Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx1 по формуле:
EQ tнабл = ryx1 \f(\r(n-m-1);\r(1 - ryx1 2))
где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.
EQ tнабл = 0.29 \f(\r(12 - 1 - 1);\r(1 - 0.292)) = 0.95
По таблице Стьюдента находим Tтабл
tкрит(n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим
Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле:
EQ tнабл = 0.78 \f(\r(12 - 1 - 1);\r(1 - 0.782)) = 3.93
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим
Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.
На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.
EQ ryx1 /x2 = \f(ryx1 - ryx2 •rx1 x2 ;\r((1-r2yx2 )(1-r2x1 x2 )))
EQ ryx1 /x2 = \f(0.287 - (-0.779) • (-0.0335);\r((1-0.7792)(1-0.03352))) = 0.416
Теснота связи не сильная
Определим значимость коэффициента корреляции ryx1 /x2 .
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:
EQ tнабл = ryx1 /x2 \f(\r(n-k-2);\r(1 - ryx1 /x2 2))
где k = 1 - число фиксируемых факторов.
EQ tнабл = 0.42 \f(\r(12 - 1 - 2);\r(1 - 0.422)) = 1.37
По таблице Стьюдента находим Tтабл
tкрит(n-k-2;α/2) = (9;0.025) = 2.262
Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим
Как видим, связь y и x1 при условии, что x2 войдет в модель, стала сильнее.
EQ ryx2 /x1 = \f(ryx2 - ryx1 •rx2 x1 ;\r((1-r2yx1 )(1-r2x2 x1 )))
EQ ryx2 /x1 = \f(-0.779 - 0.287 • (-0.0335);\r((1-0.2872)(1-0.03352))) = -0.803
Теснота связи сильная
Определим значимость коэффициента корреляции ryx2 /x1 .
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:
EQ tнабл = ryx2 /x1 \f(\r(n-k-2);\r(1 - ryx2 /x1 2))
EQ tнабл = 0.8 \f(\r(12 - 1 - 2);\r(1 - 0.82)) = 4.05
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим
Как видим, связь y и x2 при условии, что x1 войдет в модель, стала сильнее.
EQ rx1 x2 /y = \f(rx1 x2 - rx1 y•rx2 y;\r((1-r2x1 y)(1-r2x2 y)))
EQ rx1 x2 /y = \f(-0.0335 - 0.287 • (-0.779);\r((1-0.2872)(1-0.7792))) = 0.316
Теснота связи не сильная
Определим значимость коэффициента корреляции ryx2 /y.
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:
EQ tнабл = ryx2 /y \f(\r(n-k-2);\r(1 - ryx2 /y2))
EQ tнабл = 0.32 \f(\r(12 - 1 - 2);\r(1 - 0.322)) = 1
Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим
Как видим, связь y и x2 при условии, что y войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x2 остается нецелесообразным.
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:
EQ tj = \f(xji-\x\to(xj);S(xj))
где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.
EQ ty = \f(yi-\x\to(xj);S(y))
Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффициентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):
0.287 = β1 -0.0335β2
-0.779 = -0.0335β1 + β2
Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β1 = 0.261; β2 = -0.77;
Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: ty=β1tx1+β2tx2
Расчет β-коэффициентов можно выполнить и по формулам:
EQ β1 = \f(ryx1-ryx2rx1x2;1-rx1x22) = \f(0.287-(-0.779) • (-0.0335);1-0.03352) = 0.261
EQ β2 = \f(ryx2-ryx1rx1x2;1-rx1x22) = \f(-0.779-0.287 • (-0.0335);1-0.03352) = -0.77
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
ty = 0.261x1 -0.77x2
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:
EQ bj = β\f(S(y);S(xj))
EQ a = \x\to(y) - ∑bj\x\to(xj)
Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)
Y Y(x) ε = Y - Y(x) ε2 (Y-Yср)2 |ε : Y|
68 67.038 0.962 0.926 1.563 0.0141
69 67.978 1.022 1.044 0.0625 0.0148
70 71.357 -1.357 1.842
Отсутствует
В табл. представлены результаты наблюдений за х1, х2 и у:
х1 13,5 18,5 15,6 14 28 22,2 20,7 20 13,4 29,3 18,6 23,7
х2 41 39 13 47 35 23 48 14 11 23 50 33
у 68 69 70 66 69 73 67 70 72 71 64 72
1) Найти МНК-оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии вида . Пояснить смысл полученных результатов.
2) Проверить значимость оценок параметров уравнения регрессии при уровне значимости 0,05. Сделать выводы.
3) Найти доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии при доверительной вероятности 0,95. Пояснить смысл полученных результатов.
4) Найти коэффициент детерминации. Сделать вывод.
5) Проверить значимость уравнения регрессии (коэффициента детерминации) при уровне значимости 0,05. Сделать вывод.
6) Проверить наличие гомоскедастичности при уровне значимости 0,05 (с помощью теста ранговой корреляции Спирмена). Сделать вывод.
7) Проверить наличие автокорреляции при уровне значимости 0,05 (с помощью теста Дарбина-Уотсона). Сделать вывод.
Отсутствует
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
