Источники и классификация погрешностей

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ПОГРЕШНОСТИ: СУЩНОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 5
1.1. Основные понятия теории погрешностей 5
1.2. Записи погрешностей и правила округления 6
2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ 8
2.1. По способу выражения 8
2.2. По характеру проявления 9
3. ИСТОЧНИКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ 12
3.1. Неустранимые погрешности 13
3.2. Погрешность метода 14
3.3. Вычислительная погрешность 15
3.4. Инструментальная погрешность 16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 21

1.1. Основные понятия теории погрешностей
Приближенным числом или приближением называется число, незначительно отличающееся от точного значения величины и заменяющее его в вычислениях. Под погрешностью же принято понимать разность между абсолютным значением и его приближением.
Наличие погрешности обусловлено рядом весьма глубоких причин:
1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.
2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.
3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными.
...

1.2. Записи погрешностей и правила округления
Для единообразия выражения результатов измерений и погрешностей  формы их представления стандартизируются. Основные правила при этом следующие.
Так как погрешности определяют лишь зону недостоверности результата измерений, знать их очень точно не требуется. Поэтому в окончательной записи погрешность выражается одной или двумя значащими цифрами. Значащими цифрами числа являются цифры, остающиеся после отбрасывания стоящих впереди нулей. Так, в числах 0,12 и 0,012 находится по две значащие цифры. Принято, что наименьшие разряды числовых значений результата измерений и погрешности должны быть одинаковы: 20,56±0,25 или 2,1±0,1.
Одной из самых распространенных ошибок при оценивании результатов и погрешностей  измерений является вычисление их с чрезмерно большим числом значащих цифр. Как правило, в этом нет необходимости и только при промежуточных вычислениях можно удерживать по 3-4 значащие цифры.
...

2.1. По способу выражения
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины, а относительная погрешность представляет собой отношение абсолютной погрешности к измеренному (действительному) значению величины и ее численное значение выражается либо в процентах, либо в долях единицы [2].
Абсолютная погрешность -  это разность между измеренным и истинным значениями измеряемой величины. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины:    .
        Поскольку истинное значение измеряемой величины определить невозможно, вместо него на практике используют действительное значение измеряемой величины . Действительное значение находят экспериментально, путем применения достаточно точных методов и средств измерений. Оно мало отличается от истинного значения и для решения поставленной задачи может использоваться вместо него. При поверке за действительное значение обычно принимают показания образцовых средств измерений.
...

• По характеру проявления  (свойствам погрешностей) – систематические, случайные и грубые.
2.1. По способу выражения
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины, а относительная погрешность представляет собой отношение абсолютной погрешности к измеренному (действительному) значению величины и ее численное значение выражается либо в процентах, либо в долях единицы [2].
Абсолютная погрешность -  это разность между измеренным и истинным значениями измеряемой величины. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины:    .
        Поскольку истинное значение измеряемой величины определить невозможно, вместо него на практике используют действительное значение измеряемой величины . Действительное значение находят экспериментально, путем применения достаточно точных методов и средств измерений. Оно мало отличается от истинного значения и для решения поставленной задачи может использоваться вместо него.
...

3. ИСТОЧНИКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Получаемые численными методами результаты обычно содержат погрешности. Это вызывается рядом объективных причин, среди которых есть не связанные непосредственно с методами вычислений.
Чтобы разобраться в них, надо проанализировать основные этапы математического решения прикладных задач. Они следующие:
• построение математической модели задачи;
• определение исходных данных;
• решение полученной математической задачи.
Погрешности появляются уже на первом этапе, так как математическая модель задачи – это ее приближенное, идеализированное описание на языке математики. При моделировании объекты и процессы задачи-оригинала, реализуемые в результате взаимосвязи между ее независимыми факторами (параметрами), заменяются на математические понятия и соотношения. Ради того, чтобы получаемая в итоге математическая задача оказалась доступной для дальнейших исследований, учитывают лишь наиболее важные факторы, условия и особенности исходной задачи.
...

3.1. Неустранимые погрешности
Появление неустранимой погрешности обусловлено тем, что принятие математической модели и задание исходных данных вносит в решение ошибку, которая не может быть устранена далее. Единственный способ уменьшить эту погрешность — перейти к более точной математической модели и задать более точные исходные данные.
Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части:
а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;
б) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют, соответственно, погрешностью математической модели.
Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо будет получен результат, который обозначим .
...

3.2. Погрешность метода
Погрешности метода, или теоретические погрешности, проистекающие от ошибочности или недостаточной разработки принятой теории метода измерений в целом или от допущенных упрощений при проведении измерений.
Приступив к решению задачи в рамках выбранной математической модели, мы избираем какой-нибудь численный метод и, еще не начиная вычислений, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата (вместо ). Погрешность называется погрешностью метода [3].
Погрешности метода возникают также при экстраполяции свойства, измеренного на ограниченной части некоторого объекта, на весь объект, если последний не обладает однородностью измеряемого свойства. Так, считая диаметр цилиндрического вала равным результату, полученному при измерении в одном сечении и в одном направлении, мы допускаем систематическую погрешность, полностью определяемую отклонениями формы исследуемого вала.
...

3.3. Вычислительная погрешность
Проведение численных расчётов на компьютере неизбежно связано с погрешностью округления, иначе говоря, с вычислительной погрешностью.
Неизбежность округления при счете на компьютере приводит к получению результата , отличающегося от на величину вычислительной погрешности .
Величина вычислительной погрешности (при фиксированных модели, входных данных и методе решения) в основном определяется характеристиками используемой ЭВМ. Желательно, чтобы эта величина была хотя бы на порядок меньше величины погрешности метода и совсем не желательна ситуация, когда она существенно ее превышает.
Ограничение на порядки чисел в ЭВМ иногда приводит к прекращению вычислений; в других случаях относительно небольшая разрядность чисел в ЭВМ приводит к недопустимому искажению результата вычислительной погрешностью.
Вычислительные погрешности не носят принципиального характера и могут быть уменьшены за счет увеличения объема вычислений.
3.4.
...

3.4. Инструментальная погрешность
Инструментальная погрешность — составляющая погрешности измерения, обусловленная несовершенством применяемого средства измерения: отличием реальной функции преобразования прибора от его калибровочной зависимости, неустранимыми шумами в измерительной цепи, запаздыванием измерительного сигнала при его прохождении в средстве измерения, внутренним сопротивлением средства измерения и др.
Инструментальная погрешность измерений разделяется на основную (погрешность измерений при применении средства измерения в нормальных условиях) и дополнительную (составляющая погрешности измерений, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от ее номинального значения или ее выхода за пределы нормальной области значений).
Инструментальные погрешности, присущие конструкции прибора, могут быть легко выявлены из рассмотрения кинематической, электрической или оптической схемы.
...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.
Однако:
• Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.
• Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.
• Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.
В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами.
В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов. Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Это связано с тем, что модели погрешностей, как правило, сложны и описываются многими параметрами. Определение их всех весьма затруднительно, а иногда и невозможно.
...

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., Высш.шк., 2003.- 479 с.
2. Кибзун и др. Теория вероятностей и математическая статистика. базовый курс с примерами и задачами. М.: Физматлит, 2002. - 224 с.
3. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2003. — 448 с.
4. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. - 3-е изд., испр. / А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. -456 с.
5. Математическая статистика: Учеб. для вузов / В. Б. Горяинов, И. В. Павлов, Г. М. Цветкова, О. И. Тескин.; Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Иэд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 424 с.
6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
7. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - Изд. 8-е, испр. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004. — 256 с.
9. В. Босс Лекции по математике (В 4 томах). Т.4 - Вероятность. Информация. Статистика.-М.: Едиториал УРСС, 2004, 216с.
10. Официальный сайт ФГУП ВНИИМС. Погрешности измерений. [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://www.vniims.ru/inst/termin/pogreshnost.html