Работа зачтена.Хорошее выполнение.Очень порадовало выполнение.Рекомендую.
Информация о работе
Подробнее о работе
Приближенное вычисление определенных интегралов
- 32 страниц
- 2014 год
- 450 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
В данной работе мы разберем три наиболее применяемые формулы приближенного вычисления определенного интеграла:
-формулу прямоугольников,
-формулу трапеций,
-формулу парабол (Симпсона),
Которые учреждённые на геометрическом смысле определенного интеграла.
Сперва нам нужно задаться вопросом, а зачем вообще необходимы приближенные вычисления? Вот мы и раскроем эту тему.
Формула трапеций
Употребление для интерполяции полинома первой степени (прямая линия, проведенная через две точки) приводит к формуле трапеций. В качестве узлов интерполирования берутся концы отрезка интегрирования. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полу суммы оснований на высоту.
В случае N отрезков интегрирования для всех узлов, за исключением крайних точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону).
Любопытно, что формула трапеций может быть получена, если взять половину суммы формул прямоугольников по правому и левому краям отрезка
Проиллюстрируем применение формулы трапеций на примере рисунка 1
Величину I можно представить, как сумму площадей трапеций (в данном случае четырех)
Проверка устойчивости решения
Как правило, чем меньше длина каждого интервала, т.е.
...
Правило Симпсона
Использование трех точек для интерполирования подынтегрального выражения позволяет использовать параболическую функцию (полином второй степени). Это приводит к формуле Симпсона приближенного вычисления интеграла.
Рассмотрим произвольный интеграл
Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо [a,b] стали [-1,1], для этого введем переменную z:
, Тогда и
Рассмотрим задачу интерполирования полиномом второй степени (параболой) подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки –
z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2).
...
Квадратуры Гаусса-Котеса. Числа Котеса
Обобщением на случай равно точечной интерполяции полиномом степени n является квадратурная формула Гаусса-Котеса. Числа Котеса – это коэффициенты Aj (веса) в следующей формуле:
Индекс j используется для отличия от перечисленных выше итерационных методов.
На каждом отрезке интегрирования подынтегральная функция аппроксимируется полиномом степени n (то есть используется n+1 узел).
При выводе формул Гаусса-Котеса предполагается эквидистантность (равноточечность, равная удаленность) абсцисс узлов.
Числа Котеса
В таблице приведены коэффициенты первых восьми формул Котеса.
Легко видеть, что при n = 1 и n = 2 формула Гаусса-Котеса полностью соответствует, соответственно, формуле трапеций и формуле Симпсона.
В качестве примера рассмотрим семи точечный алгоритм (степень полинома n = 6):
Пример:
Используя семи точечную формулу вычислить интеграл .
...
Квадратуры Гаусса-Кристоффеля
При выводе квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля свободными параметрами считаются абсциссы (узлы) точек интерполяции и множители Aj (то есть всего 2n параметр). Оптимизация по этим параметрам значительно увеличивает точность квадратурных формул, которые, в общем, имеют вид
где w(x) – весовая функция, Aj – веса, xj – узлы. n – это степень полинома, используемого для интерполяции подынтегрального выражения.
Узлы интерполирования xj, что очевидно, должны лежать на отрезке интегрирования [a, b]. Для вычисления оптимального положения узлов находят корни полиномов специального вида, так называемых ортогональных полиномов.
Если для определенных [a, b] и при любых целых m и l для семейства полиномов Qm(x) (m – степень полинома) выполняется условие
,
то говорят, что семейство полиномов Qm(x) ортогонально на отрезке [a,b] с весовой функцией w(x).
...
Полиномы Лежандра
C точностью до нормирующего множителя
Приведем несколько полиномов Лежандра:
Для вычисления полиномов Лежандра можно использовать рекуррентное соотношение:
Эти полиномы ортогональны в интервале [-1, 1] с весовой функцией , т.е.
Корни полинома Pn(x) действительные, различные (невырожденные) и находятся в интервале [-1, 1]. Квадратурная формула Гаусса-Лагранжа по n точкам имеет вид
Узлы xj являются корнями полинома Pn(x), а соответствующие веса Aj определяются формулой
Квадратурная формула Гаусса-Лагранжа, использующая n точек, дает точные значения интегралов для всех полиномов степени не выше 2n-1.
Для произвольного интервала [a, b] уравнение переходит в формулу
Существуют таблицы, в которых приведены узлы и веса для значений n до 512, вычисленные с точностью до 30 значащих цифр.
...
Полиномы Лагерра
Полиномы Лагерра ортогональны в интервале [0, +∞] с весовой функцией , т.е.
Приведем несколько полиномов Лагерра:
Полиномы Лагерра удовлетворяют рекуррентному соотношению:
Квадратурная формула Гаусса-Лагерра по n точкам имеет вид
где xj – корни полинома Ln(x) , а
Для интервала [a, +∞] квадратурная формула имеет вид
Существуют таблицы, в которых приведены узлы и веса с точностью до 30 значащих цифр вплоть до n = 68.
n
xi
Ai
n
xi
Ai
2
0.585786 3.414214
8.535533e-01 1.464466e-01
6
0.222847 1.188932 2.992736 5.775144 9.837467 15.982874
4.589647e-01 4.170008e-01 1.133734e-01 1.039920e-02 2.610172e-04 8.985479e-07
3
0.415775 2.294280 6.289945
7.110930e-01 2.785177e-01 1.038926e-02
7
0.193044 1.026665 2.567877 4.900353 8.182153 12.734180 19.395728
4.093190e-01 4.218313e-01 1.471263e-01 2.063351e-02 1.074010e-03 1.586546e-05 3.170315e-08
4
0.322548 1.745761 4.536620 9.395071
6.031541e-01 3.574187e-01 3.888790e-02 5.392947e-04
8
0.170280 0.903702 2.251087 4.266700 7.
...
Полиномы Эрмита
Полиномы Эрмита ортогональны в интервале [–∞,+∞] с весовой функцией , т.е.
Приведем выражения для нескольких первых полиномов Эрмита:
Рекуррентное соотношение для полиномов Эрмита Hn(x) имеет вид
Узлы являются корнями Hn(x), а веса вычисляются по формуле
Существуют таблицы, в которых приведены узлы и веса с точностью до 30 значащих цифр вплоть до n = 136.
n
xi
Ai
2
-0.707107 0.707107
8.862269e-01 8.862269e-01
3
-1.224745 0.000000 1.224745
2.954090e-01 1.181636e+00 2.954090e-01
4
-1.650680
-0.524648 0.524648 1.650680
8.131284e-02 8.049141e-01 8.049141e-01 8.131284e-02
5
-2.020183
-0.958572 0.000000 0.958572 2.020183
1.995324e-02 3.936193e-01 9.453087e-01 3.936193e-01 1.995324e-02
6
-2.350605
-1.335849
-0.436077 0.436077 1.335849 2.350605
4.530010e-03 1.570673e-01 7.246296e-01 7.246296e-01 1.570673e-01 4.
...
Метод Монте-Карло
В некоторых случаях из-за особенности подынтегральной функции (например, из-за ее большой сложности, неявном способе задания и т.д.), описанные выше методы нельзя или нецелесообразно использовать. В задачах, не требующих высокой точности, широкое распространение получил метод Монте-Карло.
Проиллюстрируем применение этого метода на примере приближенного вычисления следующего интеграла:
График подынтегрального выражения приведен на рисунке. Очевидно, что точное значение интеграла равно четверти площади круга единичного радиуса.
Иллюстрация метода Монте-Карло
Построим прямоугольную область, которая будет полностью включать в себя искомый интеграл. В данном случае это будет квадрат с единичным ребром, показанный на рисунке. Далее, с помощью датчика случайных чисел генерируются точки
,
попадающие в эту область. В данном случае абсциссы и ординаты точек должны быть случайными числами, равномерно распределенными на отрезке [0, 1].
...
1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“
2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов “- М.: Физмат.
3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики “
4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”
5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск: 1989 г.
6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.
7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.
8. Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.
9. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 стр.
10. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. Москва: Высшая школа, 1972 год, 480 стр
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
