Работа зачтена.Хорошее выполнение.Очень порадовало выполнение.Рекомендую.
Информация о работе
Подробнее о работе
Становление численных методов и их практическое использование (в контексте разностных уравнений)
- 26 страниц
- 2015 год
- 239 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Введение
Современное развитие науки и техники тесно связано с использованием ЭВМ, ставшим рабочим инструментом учёного, инженера, конструктора. ЭВМ позволяет строить математические модели сложных устройств и процессов, при этом резко сократить время и стоимость инженерных разработок.
Широкое использование ЭВМ способствовало развитию вычислительной математики (прикладной математики). Как и любая наука, математика представляет собой сплав «классической» (теоретической) науки и прикладной науки, в роли последней выступает область вычислительных методов.
В основе вычислительной математики лежит решение задач математического моделирования численными методами. Решение задач этими методами даёт приближенное решение, но в ряде случаев это выгодно, так как не всегда представляется возможность разрешить математическую задачу аналитически, а методы решения настолько громоздки и трудоемки, то полученное решение становится приемлемым для проектного применения.
Разработанные на сегодняшний момент численные методы перекрыли практически всю классическую математику моделирования. Применение приближенных численных методов во многих случаях более предпочтительно даже тогда, когда известен точный метод решения, так как достаточная точность и небольшие затраты времени при использовании ЭВМ обеспечивают получение ценных результатов, не прибегая к громоздким выкладкам. Это обосновывает актуальность данной темы.
Главная задача вычислительной математики - фактическое нахожде-ние решение с требуемой точностью, тогда как классическая математика решает в основном задачи существования и свойств решения.
За последние 30 лет появилось довольно большое количество работ, посвященных данной тематике.
В области задач подобного класса в области механики наибольшее число работ посвящено нестационарному горизонтальному движению тела под свободной поверхностью тяжелой жидкости. Первые результаты, став-шие классическими, получены при помощи метода конечных разностей в работах H. J. Haussling и R.M. Coleman, где рассмотрено течение несжи-маемой жидкости, вызванное равномерным ускорением до постоянной скорости кругового цилиндра из состояния покоя. Задача исследовалась в полной нелинейной постановке, свободная поверхность описывается однозначной функцией. Изучен период разгона до постоянной скорости и момента появления крутых волн. Описаны профили свободной поверхности, а также распределение давления по контуру. Полученные результаты сравниваются с соответствующим линейным стационарным решением. Исследован переход по параметру из режима глубокого погружения, где нелинейные эффекты незначительны, к режимам малых отстояний от свободной поверхности, где линейная теория дает непри-емлемые результаты.
Особого внимания заслуживает методика использования подвижной системы координат, получившая широкое распространение и позволившая рассмотреть широкий круг задач (обзор H. J. Haussling). S.P. Shanks и J. F. Thompson про помощи метода конечных разностей и криволинейных координат рассмотрели систему уравнений Навье-Стокса для задачи о разгонном и колебательном движении контура под свободной поверхностью. Жидкость предполагается вязкой. Приведены результаты расчётов гидродинамических реакций крылового профиля и кругового цилиндра. Более подробное описание используемого численного метода приведено в обзорной работе J. F. Thompson, Z.U. Warsi и C. W. Mastin. Разгон крыла и эллиптического контура рассмотрен S.M. Yen, K.D. Lee, T. J. Akai. Используется метод конечных элементов для вычисления поля скоростей.
Проблемы регулирования современных вопросов по теме «Численные методы» касаются М. А. Кузьмин, Д. Л. Лебедев, Б. Г. Попов в монографии «Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций». Данная книга была выпущена в издательстве «МГТУ им. Н. Э. Баумана» в 2012 году, содержит 344 с.
Книга входит в серию учебных пособий «Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум» и содержит описание методов расчета на прочность стержневых конструкций, пластин и оболочек с использованием метода конечных элементов. Рассмотрены формулировки задач статики, динамики, устойчивости и тепло-проводности. Для решения этих задач предложены алгоритмы: численного интегрирования, решения задач на собственные значения, решения нестационарных задач. Представлено множество примеров решения практических задач. Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, а также аспирантов, преподавателей и проек-тировщиков.
Ряд актуальных проблем был затронут в книге «Численные методы в примерах и задачах». В. И. Киреев, А. В. Пантелеев определил актуальность и новизну этой темы в своем исследовании, опубликованном в 2008 году в издательстве «Высшая школа».
Также в работе использовались некоторые другие источники, пред-ставленные в списке литературы.
Целью данной работы является обоснование значимости становления численных методов и их практическое использование в контексте разност-ных уравнений.
В соответствии с поставленной целью необходимо решить ряд задач, таких как:
рассмотреть историю становления численных методов, этапы их развития;
кратко раскрыть историю становления разностных уравнений;
описать особенности применения разностных уравнений в области механики в примерах и задачах.
Объектом исследования являются численные методы, предметом – их практическое использование в области механики.
Содержание
Введение 3
1. История численных методов (этапы развития численных методов) 7
2. История разностных уравнений 16
3. Применение разностных уравнений в сфере механики 18
Заключение 24
Список используемой литературы 26
Заключение
Таким образом, можно подвести следующие итоги и сделать обобще-ния по работе в целом.
Вычислительная математика начала свое развитие достаточно давно и в своем движении прошла три этапа:
I. Первый этап начался 3-4 тысячи лет назад. Он был связан с несложными задачами арифметики, алгебры и геометрии. Например, ведение конторских книг, вычисление площадей и объемов, расчетами простейших механизмов. Вычислительные средства- палочки, пальцы, камешки и вершина- счеты.
II. Второй период начался с Ньютона. В этот период решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. Вычислительные средства- таблицы элементарных функций, арифмометры и логарифмические линейки.
III. Третий период начался примерно с 1940 года. Толчком к развитию прикладной математики послужили военные задачи, требующие высокой скорости и решения задач. Появились электронные вычислительные машины.
Развитие численных методов связано, прежде всего, с бурным развитием средств вычислительной техники, позволившим расширить использование математических методов во многих областях науки и техники. Появилась возможность решать такие задачи, которые ранее не могли быть решены вручную.
В работе также была раскрыта и обоснована значимость численных методов и их практическое использование в контексте разностных урав-нений.
Для численного решения задач математической физики обычно при-меняется метод конечных разностей или метод сеток. Он позволяет свести решение дифференциальных уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений.
Существуют некоторые математические и технические задачи, которые непосредственно приводят к разностным уравнениям, но главный их источник - разностные методы решения дифференциальных уравнений математической физики.
Во многих областях механики часто используются численные и эмпи-рические методы для решения прямых и обратных задач. Следует отметить особую роль разностных уравнений при решении таких задач, поскольку не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато часто удается вывести разностное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.
Разностные уравнения имеют огромное прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, а также астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме разностных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов.
В работе были раскрыты этапы становления численных методов, а также разностных уравнений.
Таким образом, в ходе данной работы мы выявили, что численные методы имеют огромное значение для различных областей науки.
Список используемой литературы
1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. -348 с.
2. Васильева А. В., Медведев Г. Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 432 с.
3. Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат, фак. / Н. Я. Виленкин, М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов.— М.: Просвещение, 1984. — 176 с.
4. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 288 с: ил.
5. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 384 с.
6. Калинин В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения (посо-бие для практических занятий). – ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. – 68 с.
7. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.
8. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. Теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория устойчивости - М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 240 с.
9. Кузмин М.А., Лебедев Д.Л., Попов Б.Г. Прочность, жесткость, ус-тойчивость элементов конструкций. Теория и практикум. Расчеты на проч-ность элементов многослойных композитных конструкций. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 344 с.
10. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с: ил.
11. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 256 с.
12. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. - 240 с.
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
