Численное моделирование двумерной обратной задачи для параболического уравнения

Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1. НЕФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 8
2. ФОРМАЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 10
3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ 12
3.1. Потенциальная форма 12
3.2. Скалярное произведение 13
3.3. Задача граничного управления 14
3.4. Задача нахождения массы. 15
3.5. Задача нахождения плотности 16
4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 17
5. ДИСКРЕТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 18
6. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ 23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 31
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 37

ВВЕДЕНИЕ
Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались в восемнадцатом веке. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Примерами таковых могут служить эксперименты по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений.
Другой пример – это медицинские исследования, направленные на выявление патологий внутренних органов человека.
...

1. НЕФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Цель дипломной работы является создание программы и численное тестирование метода граничного управления для параболического уравнения (уравнения теплопроводности и диффузии).
Рассмотрим обратную задачу для параболического уравнения в неоднородной области с границей. Данную область мы будем называть мембраной. На границе мембраны располагаются источники (тепловые потоки) и приемники (рис. 1).

Определенный источник, срабатывающий в определенный момент времени будем называть управлением. Приемники (измеряющие температуру), расположенные на границе считывают реакцию среды на действие некоторого управления.
Обратная задача заключается в нахождении коэффициента при первой производной по времени по набору управлений и реакции среды на эти управления. Как и, практически, все многомерные обратные задачи, она некорректна по Адамару.
Для решения параболических задач используются два основных метода: метод продолжения и метод оптимизации.
...

3.1. Потенциальная форма
Пусть - решение задачи
(3.1)
Умножим уравнение (2.1) на , а уравнение (3.1) на и отнимем, получится:
,
после упрощения получим , оно эквивалентно уравнению:

,
упростив обе части получим

. (3.2)
Проинтегрируем левую и правую часть равенства (3.2) по цилиндру. Так как при t=0, то
, (3.3)
применяя формулу Гаусса-Остроградского для правой части(3.3) получим:
=. (3.4)
Рассмотрим два случая решения для функции :
1) Возьмем функцию и подставим в равенство(3.4):
Так как то , следовательно
. (3.5)
Билинейную форму (3.5) будем называть потенциальной формой. Подчеркнем, что потенциальная форма явно определяется данными обратной задачи.
...

3.2. Скалярное произведение состояний.
Умножим уравнение (2.1) на , а уравнение (3.1) на и сложим, получится:
, (3.6)
упростив(3.6) получим:
. (3.7)
Проинтегрируем левую и правую часть равенства (3.7) по цилиндру и воспользуемся формулой Гаусса – Остроградского:
=. (3.8)
Возьмем функцию и подставим в (3.8). Так как то , следовательно
==. (3.9)
Билинейную форму (3.9) будем называть скалярным произведением состояний.

Введем основные равенства метода граничного управления:
1)скалярное произведение
, (3.10)
2)потенциальная билинейная форма
. (3.11)

3.3.
...

3.3. Задача граничного управления
Задача граничного управления состоит в поиске управления, которое в финальный момент времени T порождает заданную функцию .
Можно показать, что при достаточно больших >0 задача граничного управления

(3.12)

плотно разрешима в [20]. Разумеется, в случае неизвестной плотности, располагая лишь оператором реакции, мы не можем решить эту задачу для произвольной . Замечательный факт состоит в том, что для любой гармонической функции , располагая лишь данными обратной задачи, можно найти такое управление, что равенство (3.12) будет выполняться с любой точностью.
Если – произвольная гладкая гармоническая функция , то равенство (3.12) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется граничное равенство

(3.13)
где функционал определяется подстановкой в формулу потенциальной билинейной формы (3.11) гармонической функции . Учитывая, что , а управление , получим следующую формулу:

(3.
...

4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, ко­торая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, оп­ределенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области.
В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и нужно определить значения этой величины в некоторых внутрен­них точках области. Дискретную модель, однако, очень легко по­строить, если сначала предложить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении дис­кретной модели непрерывной величины поступают следующим об­разом:
1.В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.

5. ДИСКРЕТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Описанная выше схема использовалась для решения обратной динамической задачи, которая получается в результате проектирования прямой задачи (2.1) на конечномерное подпространство со стандартными базисными функциями метода конечных элементов.
Для решения прямой задачи (2.1) имеем триангулированную область с количеством треугольников равным и количеством узлов равным
Пусть представима в виде
, (5.1)
где базисные кусочно-линейные функции, причем . Количество базисных функций совпадают с количеством узлов сетки. Подставим (5.1) в (2.1) и проинтегрируем оп области D, тогда задача примет вид:
,
приведем правую часть к дискретному виду:

после преобразования уравнение(2.1) запишется в следующем виде:
. (5.2)

Введем обозначения:
– матрица масс, (5.3)
– матрица жесткости, (5.
...

6. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
Для численного моделирования решения обратной задачи методом граничного управления был выбран математический пакет MatLab, так как в нем уже реализованы основные функции работы с матрицами, а также алгоритм триангуляции Делоне.
В качестве области была выбрана двумерная область – круг радиусом (рис. 6.1).
Для области построена оптимальная триангуляционная сетка со следующими параметрами: количество узлов сетки , количество граничных узлов , количество треугольников (рис. 6.2).

Построение оптимальной триангуляционной сетки Делоне обусловлено следующими параметрами: количеством узлов, количеством граничных узлов, количеством треугольников. Чем больше узлов сетке, тем лучше решается прямая задача, следовательно, улучшается решение задачи граничного управления. Чем больше граничных узлов, тем больше гармонических функций мы можем создать, следовательно, лучше будет решаться обратная задача – восстановление плотности.
...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе решалась двумерная обратная задача для параболического уравнения методом граничного управления. С помощью данного метода были проведены численные эксперименты для восстановления плотности и массы различных мембран. Погрешность при восстановлении коэффициентов в среднем 5%-6%, таким, образом, полученные результаты показали эффективность метода и возможность его использования при решении подобных задач.
Проведенные эксперименты позволяют предположить, что метод граничного управления применим и для ряда других обратных задач: обратные динамические задачи для системы уравнений теории упругости и системы Максвелла, имеющие приложения, в частности, в сейсморазведке и электроразведке, задач связанных с оптической томографией и других. Дипломный проект не является завершающим этапом проводимых исследований и планируется расширить круг решаемых задач.
...

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Алгоритм решения.
1. Вводим в консоли Matlab >>pdetool
2. В появившемся окне рисуем область и экспортируем данные о ней
(p, e, t).(рис П.1.1 и П.1.2).

Рис. П.1.1. Треангулированная область.

Рис. П.1.2. Экспорт параметров области.
3. [K,M]=assema(p,t,1,Ro,0); где Ro- плотность задается в виде функции или вектора.
4. Выполняем следующие команды:
K=full(K);
M=full(M);
[X,L]=eig(K,M);
U=matr_reakcii6(J,Q,p,e,X,L,40/256);
pinvP=pinv(U'*K*U);
pinvK=pinv(K);
Ct=U'*M*U;
Ck1=pinv(Ct)*Fi';
[Cpq,Qpq,C,E]=plotnosti(pinvK,pinvP,Ct,U,size(e,2),Ck1,p,e,t);

5. Вычисляем плотность
Rm=pinv(Qpq)*Cpq';

6.Прорисовка плотности.
pdeplot(p,e,t,'xydata',Rm','zdata',Rm','mesh','off');

7.Регуляризация
[Rm_1,nev]=reg(Qpq,Cpq,alfa,x0);%Rm_1 - плотность, nev - невязка

8.
...

ЛИТЕРАТУРА
1. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.
2. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн. СПб: изд-во СПбГУ, 1999. 265 с.
3. Kabanikhin S. I. Definitions and examples of inverse and ill-posed problems // Journal of inverse and ill-posed problems. 2008. 16. №4. P. 317-357.
4. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. 15. № 4. С. 309-360.
5. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1987. 332 с.
6. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. 94. № 6. С. 767-770.
7. Благовещенский А. С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1971. 65. С. 28-38.
8. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2004. 304 с.
9. Natterer F, Wubbeling F. A propagation-backpropagation method for ultrasound tomography // Inverse Problems. 1995. 11. P. 1225-1232.
10. Natterer F. Reectors in wave equation imaging // Wave Motion. 2008. 45. P. 776-784.
11. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.), 1988. 166 с.
12. Beilina L. Adaptive element/difference method for inverse lastic scattering waves // Appl. Comput. Math. 2002. 1. №2. P. 158-174.
13. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 222 с.
14. Klibanov M. V., Timonov A. Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht (The Netherlands): VSP, 2004. 279 p.
15. Clason C., Klibanov M.V. The quasi-reversibility method for thermoacoustic tomography in a heterogeneous medium // SIAM J. SCI. COMPUT. 2007. 30. №2. P. 1-23.
16. Belishev M.I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems. 1997. 13. P. 1-45.
17. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. 23. №5. P. 1-67.
18. Pestov L. N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // Journal of inverse and ill-posed problems. 1999. 7. №5. P. 481-486.
19. Lasiecka I., Lions J-L., Triggiani R. Non homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators // J. Math. Pures Appl. 1986. 65. P. 149-192.
20. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation control and stabilization of the waves from the boundary // SIAM J. Contr. Opt. 1992. 30. P. 1024-1065.
21. Segerlind L.J., Applied Finite Element Analysis. New York/ London/ Sydney/ Toronto: John Willey and Sons Inc, 1976. 392 p.
22. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 454 с.
23. Бек ДЖ., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. .Некоторые обратные задачи теплопроводности.M.: Наука, 1989. 312 с.
24. Д. Норри, Ж. деФриз. Введение в метод конечных элементов.М.: Мир, 1981. 304 с.
25. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.
26. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е. Н. MATLAB 7. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.