Работа выполнена качественно, с учетом всех пожеланий
Информация о работе
Подробнее о работе
Теория инвариантов линий и поверхностей второго порядка
- 93 страниц
- 2013 год
- 369 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Во всех видах практической деятельности и познании природы мы постоянно сталкиваемся с кривыми и поверхностями самой различной формы. Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность.
Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
«Поверхности» как таковые, кроме плоскости и шара, древние математики почти не рассматривали. Правда, Архимед присоединил к известным тогда обыкновенным коническим и цилиндрическим поверхностям еще «сфероиды» (т. е. эллипсоиды вращения) и «коноиды» (т. е. параболоиды и двухполостные гиперболоиды вращения), но он смотрел на них лишь как на «тела», имея целью определение их объемов.
Во второй половине XIX в. было введено важное новое понятие – инвариант. Простейшим инвариантом были, так называемые, постоянные коэффициенты, которые имели буквенное, а не чисто цифровое значение. Значительный вклад в теорию инвариантов внес Гильберт (знаменитая Теорема об инвариантах).
При рассмотрении, например, многочлена 2-й степени с двумя переменными оказывается, что существуют такие выражения, составленные из коэффициентов, которые при этом преобразовании численно не меняются, хотя сами коэффициенты их меняются. Выражения такого рода называются инвариантами по отношению к группе ортогональных преобразований, то есть по отношению к преобразованиям от одних прямоугольных координат к любым другим прямоугольным координатам.
Методологический аппарат данной выпускной квалификационной работы включает в себя объект, предмет, цель исследования и задачи.
Объектом данной работы являются линии и поверхности второго порядка.
Предметом работы является теория инвариантов линий и поверхностей второго порядка.
Целью является изучение и систематизация теоретического материала по теме «Теория инвариантов линий и поверхностей второго порядка».
В рамках достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
изучить общие сведенья о линиях и поверхностях второго порядка;
рассмотреть инварианты линий и поверхностей второго порядка;
рассмотреть применение теории инвариантов к изучению свойств классов линий и поверхностей второго порядка;
самостоятельно подобрать и решить задачи по исследованной теме.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, четырёх параграфов, практической части, заключения, приложения.
В первом параграфе рассматриваются линии и поверхности второго порядка на евклидовой плоскости и пространстве, во втором – инварианты уравнений линий второго порядка, в третьем – инварианты поверхностей второго порядка, в четвертом – рассмотрены примеры решения задач по данной теме, в приложении приведен пример как определить зависимость типа кривой от параметра β с помощью инвариантов
Введение 2
I. Линии и поверхности второго порядка на евклидовой плоскости и пространстве 4
1.1. Общее понятие о линии и поверхности второго порядка. 4
1.2. Классификация линий и поверхностей второго порядка 7
1.2.1. Принципы аффинной классификации линий и поверхностей. 7
1.2.2. Аффинная классификация линий второго порядка 8
1.2.3. Аффинная классификация поверхностей второго порядка 12
II. Инварианты уравнений линий второго порядка 17
2.1. Инварианты и семиинварианты многочленов второй степени с двумя переменными 17
2.2. Определение класса линии второго порядка и ее канонического уравнения при помощи инвариантов. 24
2.3. Центр линии второго порядка. 33
2.4. Признаки уравнений окружности, равносторонней гиперболы и пары перпендикулярных прямых 37
III. Инварианты уравнений поверхности второго порядка 42
3.1. Инварианты и семиинварианты многочленов второй степени с тремя переменными 42
3.2. Определение класса поверхности второго порядка и ее канонического уравнения при помощи инвариантов. 51
3.3. Центр поверхности второго порядка 59
3.4. Признак уравнения сферы 61
IV. Приведение к каноническому виду линий и поверхностей второго порядка, заданных своими общими уравнениями относительно ДПСК. 64
Заключение 72
Список литературы 74
Приложение 76
!!!
!!!!!!
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
