Прямые сеточные методы решения вариационных задач и их применения.

Многие задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. При этом исходная краевая задача сводится к отысканию минимума некоторого выпуклого функционала на линейном множестве. Переход к вариационной постановке позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного решения. В последние десятилетия интенсивно развиваются и вариационные подходы краевых задач. Соответствующие вариационные задачи состоят в минимизации выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве и, тем самым, являются задачами на условный экстремум. Исследования по вариационным методам в настоящее время широко и активно разрабатываются специалистами по дифференциальным уравнениям, механике сплошной среды, математической экономике.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 7
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 10
1.1. История вопроса 10
1.2. Задача о брахистохроне 11
1.3. Необходимое условие экстремума 13
1.4. Простейшая задача вариационного исчисления 14
1.5. Уравнение Эйлера 15
1.6. Условия Лежандра и Якоби 16
1.7. Задача о прогибе балки 21
1.8. Пример программы для решения вариационной задачи о прогибе балки 24
2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 27
2.1. Обзор литературы по расчету пластин средней толщины 27
2.2. Литература по численным методам 28
2.3. Метод конечных элементов (МКЭ) 29
2.4. Обзор работ по методу конечных разностей 30
2.5. Обзор работ по задачам вариационного исчисления 31
3. ИЗГИБ ПЛАСТИНЫ 35
3.1. Основные понятия и гипотезы 35
3.2. Перемещения и деформации в пластине и их выражения через прогибы 38
3.3. Напряжения и внутренние усилия в пластине и их выражения через прогибы 42
3.4. Уравнения равновесия элемента пластины 46
3.5. Дифференциальное уравнение изгиба пластины 48
3.6. Формулировка граничных условий 50
3.7. Усилия в косых сечениях пластины 57
3.8. Элементарные примеры изгиба пластин 59
3.9. Пример программы для решения задачи о прогибе пластины с закрепленными краями вариационным методом конечных разностей 64
4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 68
4.1. Вводные замечания 68
4.2. Метод конечных разностей 69
4.3. Применение МКР при решении плоской задачи 77
4.4. Применение МКР в задачах изгиба пластин 86
4.5. Понятие о вариационно – разностном методе 89
4.6. Метод Бубнова – Галеркина 92
4.7. Метод Канторовича–Власова 97
5.ИНТЕРВАЛЬНЫЕ И ДВУСТОРОННИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РАСЧЕТА МАГНИЬТНЫХ СИСТЕМ 101
5.1. Вводные пояснения 101
5.2. Интервальный метод решения задачи 103
Введем следующие обозначения: 103
5.3. Примеры расчета магнитной цепи с учетом погрешности исходных данных 106
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 113
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАДАЧА О ПРОГИБЕ БАЛКИ С ШАРНИРНЫМИ ОПОРАМИ 115
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОГИБЕ ПЛАСТИНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КРАЯМИ 122
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 129

В дипломной работе рассмотрены прямые сеточные методы решения вариационных задач и их применения в механике, теории упругости. Разработаны программы на языке Паскаль,решен ряд задач расчета прогибов балок и пластин. Описаны некоторые применения в электротехнике.

1. Абовский Н.П. О применении метода конечных элементов совместно с другими методами. Пространственные конструкции в Краснодарском крае, 1975, в.8, с.215–219.
2. Абовский Н.П., Енджиевский Л.В., Савченков В.И. и др. Избранные задачи по строительной механике и теории упругости. М.: Стройиздат, 1978. 189 с.
3. Абрамов Г.Д. Исследование устойчивости и сложного изгиба пластин, стержневых наборов и оболочек разностными методами. Л.: Судпромгиз, 1951. 52 с.
4. Александров А.В. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования // Тр. МИИТ.– М., 1961.– вып. 131. с.253–266.
5. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: учеб. Для строит. спец . ВУЗов. М: «Высшая школа», 1990
6. Александров А.В., Шапошников Н.Н. Об использовании дискретной модели при расчёте пластинок с применением цифровых автоматических машин // Сб. трудов МИИТ. М.: Трансжелдориздат, 1966. С. 50–67.
7. Бате К., Вилсон Е., Численные методы анализа и метод конечных элементов. Пер. с. Англ. – М., Стройиздат, 1982. –447с.
8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.
9. Бовин В.А. Дискретный вариант плоской теории упругости // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1980. В. 24. С. 121– 128.
10. Боголюбов H.H., Прикарпатский А.К. Полная интегрируемость нелинейной системы //Теоретическая и математическая физика. 1986. – 67, № 3. – С. 84 – 86
11. Бузун И.М. Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Сравнение решений для пластин. – Тюменский индустриальный институт, 1974, в.40, с.79–87.
12. Вазов В., Форсайт Д. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Пер. с англ. М., ИЛ, 1963.
13. Вайнберг Д.В. Численные методы в теории оболочек и пластин. – Труды VI всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М., наука, 1966, с.890–895.
14. Вайнберг Д.В. и др. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикладная механика. 1972. Т. 8. №8. С. 3–28.
15. Вайнберг M. M. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. – 344 с.
16. Ван Цзиде. Прикладная теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 400 с.
17. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Киев , 1949.–ч.I.–1952.–ч.2.–116с.
18. Варвак П.М. Расчет толстой квадратной плиты, защемленной по боковым граням // Расчет пространственных конструкций. М., 1959. вып.5. С.245–249.
19. Варвак П.М., Варвак А.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977.– 160с.
20. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы – аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия вузов. Авиационная техника. 1966. №3. С. 50–61.
21. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин // Изв. АН СССР, ОТН. М.,1957. №12. с.57–60.
22. Влияние двухпараметрического упругого основания на собственные колебания пластин средней толщины. 1989, 37, № 1.87
23. Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб плиты. И.Ф.Шумейко В.И.// Нов.легк. конструкции зданий / Рост. инж. строит. инт. Ростов–на–Дону, 1990.– С.107–110. Рус.
24. Волков А.С., Бобушев С.А. Расчет пластин на изгиб методом конечных элементов: Учебное пособие для вузов. Хабаровск, 1996.–71с.
25. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М., наука, 1972, 314с.
26. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1956.
27. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций. Строительная механика и расчет сооружений, 1978, №3, с.26–30.
28. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 3, с.27–30.
29. Габбасов Р.Ф., Кайдалов Б.П. Разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций в задачах устойчивости пластин. Известия Вузов, строительство и архитектура, 1981, №11, с. 58–62.
30. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит на локальные нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций. Расчет пространственных конструкций. Сб. трудов МИСИ, М.,1981, №157, с.23– 34.
31. Габбасов Р.Ф., Захарова Л.В. Расчет изгибаемых плит с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР) и разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Методические указания. М, 1984, 36с.
32. Габбасов Р.Ф. Обобщение уравнений метода конечных разностей в полярных координатах на задачи с разрывными решениями. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1984, в.45, К.: Будивельник, с.55–58.
33. Габбасов Р.Ф., Низомов Д.Н. Численное решение некоторых динамических задач строительной механики. – Строительная механика и расчет сооружений, 1985, №6, с.51–54.
34. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численные построение разрывных решений задач строительных механики. Издательство АСВ, 2008, 277с.
35. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Дисс. д. техн. наук. М, 1989. 343с.
36. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит и балок на упругом основании с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Методические указания. – М., 1990, 36с.
37. Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А., Нгуен Х.А. Сравнение результатов расчета тонких изгибаемых плит с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей и последовательных аппроксимаций. М., журнал «Промышленное и гражданское строительство», 2014, №1, с.61–64.
38. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В., Хоанг Т.А. Приближенный способ расчета изгибаемых пластин средней толщины со свободным от закреплений краем. Л.,Вестник гражданских инженеров, 3(44) июнь 2014, с.96–99.
39. Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А. Расчет изгибаемых плит средней толщины с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР). М, журнал «Промышленное и гражданское строительство», 2014, №10.
40. Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А., Шикунов М.А. Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета тонких изгибаемых плит на динамические нагрузки // Вестник МГСУ. 2014. № 9. С. 32–38 .
41. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961г.– 228 с.
42. Герасин А.Н., Отварухина Н. С. Магистерская диссертация (учебное пособие для магистрантов) – Москва: МГИУ. 56с.
43. Гершгорин С.А. О приближённом интегрировании дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона // Известия Ленинградского политехнического института. 1972. №30. С.75–97.
44. Городецкий А.С. Численная реализация метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1973. В. ХХ. С. 31–42.
45. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. Киев: Наукова думка, 1964. 260 с.
46. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.
47. Зенкевич О. Метод конечных элементов; от интуиции к общности // В сб. переводов «Механика». М.: Мир, 1960. №6. С. 127–132
48. Иванова Е.П., Каменский Г.А. Вариационные и краевые задачи для дифференциально– разностных уравнений. М:МАИ, 1993. – 44 с.
49. Избранные главы вариационного исчисления. Кузнецов Ю.А., Семенов А.В. Электронное учебно–методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 69 с.
50. Избранные главы современного естествознания (Элементы вариационного исчисления и математической физики). Сост. Н.Д.Копачевский. – Симферополь: НИЦ КИПУ, 2007. – 74 с.
51. Изгиб плит средней толщины при наличии усилий в средней плоскости. Леонтьев Н.Н., Леонтьев А.Н., Вагилла Х.А. М. Строит.мех. и расчет сооруж. 2006, №6, с.21–24.
52. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига. Сухотерин М.В. Вестник СГАУ.2008, №1, с.174–180.
53. Изгиб толстой прямоугольной пластины с тремя защемленными кромками и одной свободной. ChengChang. jun ,YangXiao. 1990. 11, № 6. с. 543–559. Англ.
54. Исследование больших прогибов упругих изотропных прямоугольных пластин Миндлина. /TurveyG.J., OsmanM.Y.// Int. J.Mech.Sci. 1990. 32, № 4. C.315–328. Англ.
55. Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом. // Докл. АН СССР. 1958. – Т.120, №4. – С. 697 – 700.
56.Каменский Г.А. О вариационном методе решения краевых задач для одного вида линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами // Дифференциальные уравнения. –1977. Т.13, №7. – С. 1185 – 1191.
57. К вопросу о расчете пластинок средней толщины из условия жесткости. Черняев А.А, регион. архит. и стр–во. 2012, №1, с 83–89.
58. К исследованию изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера / Сухотерин М.В. // Прикл. мех. (Киев). 1990. 26, № 7. C.120–124.
59. К оценке влияния деформаций поперечного сдвига в теории Рейсснера–Миндлина для пластин. Постнов В. А., Тумашик Г.А. международная конференция «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», Санкт– Петербург, 23–24 апр., 2008: Тезисы. СПб. ПГУПС, 2008, с. 140–141.
60. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд–во иностранной литературы, 1953. 460 с.
61. Колос А.В. Об области применения приближенных теорий изгиба пластин типа Рейсснера // Тр.6 Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966. с.497–501.
62. Конечноэлементная модель для пластин Миндлина. / AllineyS., CarnicerR.S // Comput. Mech. 1991. 7,№ 5–6. C. 299–310. Англ.
63. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек, методы их решения. М., наука, 1964, 192с.
64. Масленников А.М. Расчет строительных конструкций численными методами: Учеб. пособие. Л.: Изд–во Ленинградского университета, 1987. 225с.
65. Маслеников А.М. Приложение метода конечных элементов к расчету строительных конструкций: Учебное пособие для слушателей ФПК и студентов строит. спец. вузов. Л.: ЛИСИ, 1978. 84с.
66. Математическое моделирование и автоматизация проектирования тяговых электрических аппаратов/ А.Г.Никитенко, В.Г. Щербаков, Б.Н. Лобов, Л.С. Лобанова; Под ред. А.Г.Никитенко, В.Г. Щербакова. М.: Высш. школа, 1996.
67. Михлии С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. – 512 с.
68. Некрасов, С. А. (доктор технических наук; профессор; Южно–Российский государственный технический университет). Интервальные и двусторонние методы расчета магнитных систем /Некрасов С.А. //Электричество. 2013. №8. С. 55–59.
69. Некрасов С.А. Интервальные и двусторонние методы для расчета с гарантированной точностью электрических и магнитных систем. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности «Теоретическая электротехника». Новочеркасск. ЮРГТУ(НПИ). 2002.
70. Некрасов С.А. Двусторонний метод решения задач Коши// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. №5. С. 771–776.
71. Некрасов С.А. О построении двусторонних приближений к решению задачи Коши// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. №5. С. 660–668.
72. Некрасов С.А. Двусторонние методы интегрирования начальных и краевых задач./ Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т.35, №10, 1995, с. 1189 – 1202 .
73. Некрасов С.А. и др. Методика косвенной оценки угла смачивания по геометрическим размерам пробной капли/ Матем. моделирование.– 1994.– Т.6,№9.–С.33–40.
74. Некрасов С.А. Эффективные двусторонние методы для решения задачи Коши в случае больших промежутков интегрирования / Дифференциальные уравнения. – 2003. – Т. 39. – № 7. – С. 1–5
75. Некрасов С.А. Интервальные методы и алгоритмы глобальной нелинейной оптимизации и их применение в области проектирования электротехнических устройств.Часть I/ Электричество. – 2001. – № 8. – С. 43–49.
76. Некрасов С.А. Интервальные методы и алгоритмы глобальной нелинейной оптимизации и их применение в области проектирования электротехнических устройств. Часть II/ Электричество.– 2002. – № 7. – С. 54–58.
77. Никольский С.М. К вопросу о решении полигармонического уравнения вариационным методом // Докл. АН СССР. 1953. – Т.38, №3. – С. 409 – 411.
78. Няшин Ю.И. О вариационной формулировке нестационарной задачи теплопроводности: Сб. науч. тр. Пермского политехнического института. Пермь: ППИ, 1974. – №152. – С. 3 – 8.
79. Обобщенная нелинейная теория третьего порядка для пластин средней толщины. / ReddyJ.N.// Int. J.Non–LinearMech. 1990. № 6. C.677–686.
80. О дополнении к теории пластин Э. Рейсснера. / Kuszynski Andrzej // Rozpr. inz. 1989. 37,№ 2. C. 211–228.
81. Попов A.M. Условия потенциальности дифференциально–разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1998. –Т.34, №3. – С. 422– 424.
82. Применение символического метода Лурье к динамической задаче растяжения толстой плиты /Груздев Ю.А., Коженков А.А.// Тр./Ленинградский политехнический институт. 1988. № 425. С.61–65. Рус.
83. Расчет плиты средней толщины с учетом поперечного сдвига /Папуш А.В. // Тез. респ. науч. практ. конф. ученых, Душанбе, 12–14 апр., 1990. Секц. Техн. науки: Сб. науч. ст. / Тадж.респ. правл.ВНТО стройиндустрии, Сов.мол.ученыхТадж. политехн. ин–та. Душанбе, 1990. С.84–86.
84. Резниченко А.И., Нечаев Л.В., Казначеева О.К. Метод конечных элементов. Основные понятия, применение к расчету конструкций на ПЭВМ : Учеб.пособие/ А.И. Резниченко, Новочеркасск, 1996.–71с.
85. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988.–284с.
86. Розин Л.А. Метод конечных элементов в строительной механике //Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1972.
87. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. M., Энергия, 1971.
88. Розин Л.А. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1981. №11. С. 41–54.
89. Самарский А.А. Теория разностных схем. М: Наука, 1977. 656 с.
90. Самаркий А.А. Введение в численные методы. – М: наука, 1987. 288с.
91. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. –М: Наука, 1989. 432с.
92. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М: Наука, 1978. 592 с.
93. Синицын А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений. М: Стройиздат, 1973.
94. Терегулов И.Г. К теории пластин средней толщины// Тр. Конф. по теории пластин и оболочек. – Казань, 1961. с.367–375.
95. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек// ПММ. М, 1962.т.26.вып.2. с.346–350.
96. Точечные погрешности классической теории пластин и теории Рейсснера для случая локального нагружения. / SimmondsJ.G. //J.Elast. 1990. 23, № 2–3. C.219–232. Англ. Место хранения ГПНТБ СССР
97. Харатишвили Г.JI., Тадумадзе Т.А. О корректности задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с переменными запаздываниями // Дифференциальные уравнения. 2004. – 40, №3.– С. 338 345.
98. Хемминг Р.В. Численные методы. М., наука, 1972, 400с.
99. Чирас А.А. Математические модели анализа и оптимизации упруго–пластических систем // Вильнюс, Мокслас, 1982. 112 с.
100. Чирас А.А. Строительная механика // М.: Стройиздат, 1989. 256 с.
101. Чирас А.А., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизация упруго – пластических систем // Л : Стройиздат, 1974. 279 с.
102. Шалов В.М. Вариационный метод решения несамосопряженных уравнений: Дисс.канд. физ.–мат. наук. М.: МИАН СССР им. В.А. Стеклова, 1964. 175 с.
103. Шамин Р. В. К вопросу об оценке времени существования решений системы Коши–Ковалевской с примерами в гидродинамике со свободной поверхностью / / Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. – Т.21. – С. 133–148.
104. Шереметьев М.П., Пелех Б.А. К построению уточенной теории пластин // Инж.журнал. 1964. т.4.вып.3. с.504–509.
105. Шойхет Б.А. Одна задача теории изгиба толстых плит// Изв.АН СССР, МТТ. 1973. №3. с.58–68.
106. Эльсголъц Л. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. – 128 с.
107. Эльсголъц Л.Э. Основные направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1962. – Т. 1. – С. 3 – 20.
108. Argyris J.H., Kelsey E. Energy Theorems and Structural Analysis. – In: Aircraft Engineering, Vols. 26 and 27, 1955.
109. Bolle L/ Contribution an probleme lineaire de flexion d’une plaque elastique// Bulletin technique de la Suisse Romande, Parts 1,2. 1947. s.281– 285, 293–298.
110. Clough R.W.: The Finite Element in Plane Stress Analysis. – Proceedings 2 nd A.S.C.E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg. Pa. Sept. 1960.
111. Copson E. T. Partial differential equations and the calculus of variations // Proc. Rog. Soc. Edinb, A. 1925–26. – V.46. – P. 126 – 135.
112. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. In: Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 49 (1943). S 1– 23.
113. Green A.E. On Reissner’s theory of bending of elastic plates// Quart. Appl. Math. 1949. Vol.7. N.2. P.223–228.
114. Hale J. Theory of Functional Differential Equations. М,:Мир, 1984. – 421с.
115. Hensky H. Uber die Berucksichtigung der Schubverzerrung in ebenen Platten// Ing. Archiv.0 1947. N.16 S.72–76.
116. Hilbert D. Ueber das Dirichletsche Prinzip // Jber. Deutsch. Math. –1900. 8. – S. 184 – 188.
117. Hirsch A. Ueber eine charakteristische Eigenschaft der Differentialgte–ichungen Variationsrechnung // Math. Ann. 1897. – 49. – S. 49 – 72.
118. Kamenskii G. A., Myshkis A. D. On the mixed type functional differential equations // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. – 1997. Vol.30, № 5. – C. 2577–2584
119. Kupershmidt B.A. Mathematics of dispersive waves // Comm. Math. Phys. 1985. – V.99. – P. 51 – 73.
120. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells// Quart. Appl. Math. 1957. vol.14. N.4. P.369–380.
121. Nordgren R.P. A bound on the error in Reissner’s theory of plates// Quart. Appl. Math.1972. N.29. P.551–556.
122. Pectoris R. On application of direct variational methods to the solution of parabolic boundary value problems of arbitrary order in the space variable. // Czech. Math. J. 1971. – P. 318 – 339.
123. Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of function space // Quart. Appl. Math. 1947. – N.5.–P.241–269.
124. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // Math. Phys. 1944.–Vol.23.–P.184–191.
125. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates// Appl.Mech. 1945. Vol.12. N.2. P.69–77.
126. Reissner E. On bending of elastic plates // Quart. Appl.Math.–1947. Vol.5. N.1. P.55–68.
127. Reissner E. On the transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation // Int. Solids Struct. 1975. Vol.11. N.5. P.569–573.
128. Rychter Z. An improved bound on the error in Reissner’s theory of plates // Arch.Mech. Warszawa, 1986. Vol.38. N1, 2. P.209–213.
129. Sabbagh L.D. Variational problems with lags //Journal Optimization Theory Appl. 1969. – Vol.3. – P. 34 – 51.
130. Salerno V.L., Goldberg M.A. Effect of shear deformation on the bending of rectangular plates //Appl. Mech. 1960. Vol.27. N.1. P.54–59.
131. Volterra V. Leçons sur les Fonctions de Lignes. Paris: Gautier–Villars, 1913. – 230 p.