Работа выполнена на отлично,автор выполнил в срок.Заказываю у этого автора не в первый раз,все быстро и качественно.Рекомендую
Информация о работе
Подробнее о работе
Избранные теоремы из геометрии четырехугольников
- 21 страниц
- 2018 год
- 59 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Введение 3
1. Основные теоремы из геометрии четырехугольников 4
1.1. Теорема Вариньона 4
1.2. Теоремы Брокара 10
1.3 Теорема Паппа 12
2. Примеры решения задач по теоремам из геометрии четырехугольников 14
2.1. Задачи по теореме Вариньона 14
2.2. Задачи по теореме Паппа 19
Заключение 20
Список литературы 21
1.1. Теорема Вариньона
Бимедианы четырехугольника – это отрезочки, которые соединяют середины сторон, которые противоположны.
Одна из главных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит француз. инженеру и механику Пьеру Вариньону (1654 – 1722), создавший учебник по элементарной геометрии (напечатан в 1731 г.), в котором эта теорема возникла впервые.
Теорема Вариньона.
Трактовка:
Четырехугольник, созданный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, считается параллелограммом, и его площадь равносильна половине площади приведенного четырехугольника.
Доказательство:
1. Проанализируем (рис. 1) одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. Так как KL считается средней линией треугольника ABC, то KL║AC. По тем данным MN║AC. Очевидно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Поэтому, четырехугольник - параллелограмм.
Рисунок 1
Этот параллелограмм считается параллелограммом Вариньона приведенного четырехугольника.
1.2. Теоремы Брокара
Перед тем как сформулировать и доказать теорему Брокара следует рассмотреть две задачи.
Задача. Противоположные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках Р и Q. Найдите длину отрезка PQ, если касательные к окружности, проведенные из Р и Q, равны а и b.
Рисунок 8
Решение. Пусть ABCD – вписанный четырехугольник. Опишем около ΔADP окружность. Обозначим через М точку пересечения этой окружности с прямой PQ. Имеем DMQ = DAP = BCD. Следовательно, четырехугольник CDMQ - вписанный. Поскольку, по условию, касательные, проведенные из Р и Q к исходной окружности, равны а и b, будем иметь QM·QP = QD·QA = , РМ·PQ = PD·РС = . Сложив эти равенства, получим , PQ = .
Задача. В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD. Пусть N, Q и Р – соответственно точки пересечения диагоналей этого четырехугольника и продолжений противоположных сторон. Найти стороны ΔPQN, если расстояние от Р, Q и N до центра окружности равны n, m и k.
...
1.3 Теорема Паппа
Начнём наш анализ из теоремы, от которой возникли другие теоремы, то есть из теоремы Паппа. Необходимо взять во внимание, что Паппа Александрийский (который жил примерно 300 года нашей эры) считают последним геометром древности и отцом проективной геометрии. Вот формулировка и доказательства этой теоремы.
Если А, С, Е—три точки, которые относятся к одной прямой, а В, D, F—к другой, и , , , то точки L, М, N относятся к другой прямой (рис.1).
Рисунок 11
Рисунок 11 показывает один из возможностей создать чертёж, а рисунок 12 — другую такую возможность. Мы можем циклично переставлять буквы А, В, С, D, Е, F при уславии, что соответственно переименуем точки L, М, N. Пусть , , , як на рисунке 12. Применяя теорему Менелая к пяти прямым которые пересекают стороны трехугольника UVW в точках ; ; ; ; соответственно получим:
,, ,,
.
...
2.1. Задачи по теореме Вариньона
Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты нами с различных математических конкурсов.
Задача 1.
Пусть K,L,M,N– середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD(см. рис. 13). Докажите, что
а) , где – угол между бимедианами четырехугольника;
б) ,где – угол между диагональю AC и бимедианой LN.
Решение.
Рисунок 13
а) Так как ABCD - параллелограмм Вариньона, а KM и NL – бимедианы, то , где O – точка пересечения бимедиан (см. следствие 2), (см. теорему Вариньона).
Задача 2.
Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника (рис.14).
Решение.
Рисунок 14
;
Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то .
Отсюда получаем, что , что и требовалось доказать.
Задача 3.
...
2.2. Задачи по теореме Паппа
Задача 5. Точки A, C, E к одной прямой t, а точки B, D, F – прямой n, также известно, что и . Доказать, (рис. 17).
Рисунок 17
Вероятно, что та . Отсюда следует, что и . Умножив левые та правые части обоих выражений, мы получим: , очевидно . Отсюда следует, что . В случае, когда предлагаем доказать самостоятельно. Это- не единственный пример задач с применением теоремы Паппа. Вот и другие задачи.
Задача 6. Точки A, B, C, D такие, что круг, который описан на АВ, как на диаметре торкается к CD, а круг, который описан на CD, как на диаметре торкается к АВ. Доказать, что.
Рисунок 18
Очевидно, что , так как . Но , а поэтому =. Поскольку , поэтому . Отсюда следует, что ===. Так как . Поэтому - прямоугольник. Отсюда следует, что та . Поскольку точки A, , B относятся к одной прямой, а D, , C - к другой, то за задачей 75 .
Задача 7.
...
1 Шклярский Д.А., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. М., Наука, Физматлит, 1970. - 336с. (Выпуск 12 серии "Библиотека математического кружка»).
2 Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Пятое изд., Испр.и доп.-М. .:МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006.- 640 с.
3 Саранча А. А. Математические олимпиады: простое и сложное рядом: Учеб. пособ. - М .: Издательство А.С.К., 2004. - 344 с .: ил.
4 Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах -М.: Наука, 1967.
5 Яремчук М.Л., Попруженко М. Сборник геометрических задач. Планиметрия // К., Просвещение, 1996.
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
