Дидактическое обеспечение изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах

Одной из основных целей обучения математике является овладение учащимися системой знаний.
Точно систематизированные знания вследствие разнообразных связей между ними прочно сохраняются в памяти. Они очень просто и легко обновляются и с успехом используются в разнообразных ситуациях, что при условии постоянного роста различной информации и ее переработки актуально на сегодняшний момент. Тем более учащиеся, у которых знания систематизированы, могут самостоятельно добывать знания, что повышает уровень качества их знаний.
На протяжении многих столетий математика является фундаментом системы общего образования всех стран мира. Без математических знаний нельзя овладеть ни одной современной профессией. Математика вносит огромный вклад в формирование личности человека, невозможно представить себе культурного человека, который бы мог обойтись без знаний математики, не владея основами математики в современном мире невозможно достичь успеха, так как образовательный и развивающий потенциал математики невозможно оценить. Развитие полноценного мышления человека, умения анализировать ситуации, отличать известное от неизвестного, доказанное от недоказанного, все эти качества невозможно развить в человеке без математики.
.Не зря математику называют «царицей» наук. И поэтому, чтобы человек мог себя найти и реализовать в современном мире, ему необходимы глубокие и прочные знания математики. Цели математического образования обусловлены ролью и местом математики в науке и жизнедеятельности общества.
При выборе будущей профессии необходимо выбирать уровень математической подготовки, согласно способностями и потребностями учащихся. Для учащихся, ориентирующихся на выбор естественнонаучных и математических специальностей, необходимо предоставить возможность обучения по программе углубленного (профильного) курса математики. Кроме обеспечения прочного сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений – основной задачей обучения математике в школе, «углубленное изучение математики в учебном процессе предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой». [18]
На самоопределение учащихся большое влияние оказывают внеурочные занятия, курсы по выбору, классы с математическим уклоном.
Реализация идеи профильного школьного образования позволяет улучшить знания учащихся по отдельным предметам и темам и подготовить их к сдаче государственной итоговой аттестации. Для успешной сдачи экзаменов необходимо глубокое изучение основных тем, одним из примеров может служить решение логарифмических уравнений и неравенств, являющихся обязательными задачами контрольно-измерительного материала по математике.
Множество уравнений и неравенств в большом количестве используется в научных исследованиях. В рамках углубленного изучения математики он позволяет сформировать у учащихся более глубокие представления о сущности математического образования, восполнить пробелы, как в теоретических знаниях, так и в практических навыках решения задач.
Сейчас в школе немного нарушилось соотношение практикой и теорией. Приведу пример, подтверждающий это нарушение. Например: учащиеся не могут применять полученные знания в сложной ситуации. Проблемой является, что многие обучающиеся плохо понимают используемые ими алгоритмы решения задач, не могут объяснить, зачем они делали то или другое действие; уделив много внимания появлению посторонних корней, они совершенно могут не думать о потере того или иного корня. Не могут приводить примеры математических моделей. А значит можно сделать вывод, что все- таки уравнения и неравенства играют огромную роль в развитии научного мировоззрения учащихся. Также в прикладной направленности обучения математике, в реализации меж предметных связей, которые содействуют пониманию строения всей системы наук и роли научного метода в познании и практике.
Тем не менее, при сдаче экзамена по математике будет очень полезно владеть методикой решения логарифмических уравнений и неравенств, которая увеличивает творческие и умственные способности учеников.
Учащиеся при решении различного рода логарифмических уравнений и неравенств получают первые навыки в исследовательской работе. У учащихся при этом развивается логическое мышление, повышается уровень математической культуры. А также развиваются такие качества личности: как осведомленность, целеустремленность, самостоятельность, любознательность, интеллектуальное совершенствование. Они также могут пригодиться в жизни. При этом у них возникает глубокое усвоение и повторение изученного материала.
Творческий педагог, всегда ищет пути и средства решения задач обучения, а также работает над развитием индивидуальных способностей учащегося. Использует индивидуальный подход, который позволяет ему развивать логическое мышление, активизировать познавательную деятельность учащихся. Стремиться выявлять особенности учащихся, учитывая педагогические требования, предлагать им темы проектов с учетом их знаний и возможностей. Важным элементов служит то, чтобы учащиеся сами могли делать выбор уровня сложности в самостоятельных, домашних и индивидуальных работах. Тематика, содержание, сложность и трудоёмкость этих заданий должны подбираться с учётом индивидуальных особенностей школьников для успешного выполнения заданий. При составлении дидактического обеспечения к урокам, каждому учителю необходимо все это учитывать.
В школьном курсе математики важное место отводится решению логарифмических уравнений и неравенств. Впервые ученики встречаются с логарифмическими уравнениями в 10 классе. Причем в различных учебниках по алгебре, подходы к изучению логарифмических уравнений и неравенств различны. Что заметно усложняет работу учителя в школе.
Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т.е. для физико-математических классов, больше всего подходит учебник Н.Я. Виленкина.
Специально разработанные учебники по математике для разных профилей на данный момент ещё не получили широкого распространения, поэтому при подготовке к уроку учитель пользуется несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе физико-математического профиля некоторые учителя пользуются одновременно учебниками А.Г. Мордковича и Н.Я. Виленкина, что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля.
Поэтому разработка дидактического обеспечения для изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств может оказать большую помощь учителям, работающих в профильных классах.
Если рассмотреть в общем дидактическое обеспечение учебного процесса, можно заметить, что в работах Г.С. Итпекова, И.Н. Булдакова, А.Г. Шабанова, П. И. Образцова рассматриваются темы, посвященные исследованию проблем, связанных с дидактическим обеспечением учебного процесса.
Актуальность данной курсовой работы обусловлена потребностью в создании дидактического обеспечения по изучению методов решения логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах для успешной сдачи учащимися ЕГЭ.
Выявленные противоречия обусловили проблему исследования, которая заключается в отсутствии теоретически обоснованной методики конструирования профессионально ориентированного дидактического обеспечения изучения логарифмических уравнений и неравенств.
Объект исследования: процесс обучения алгебре и началам математического анализа в профильных 10-11 классах школы.
Предмет исследования: конструирование дидактического обеспечения изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства».
Цель исследования: разработка и обоснование дидактического обеспечения для изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств.
Гипотеза исследования основана на предположении о том, что дидактическое обеспечение образовательного процесса изучения логарифмических уравнений и неравенств может повысить эффективность изучения данной темы и качество подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ.
Исходя из проблемы и цели исследования, определены следующие его задачи:
1) исследовать учебно-методическую, научную, историко-математическую и периодическую литературу по данной теме;
2) провести анализ учебно-методической литературы с целью выявления основных методов решения логарифмических уравнений и неравенств;
3) рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств;
4) теоретически обосновать необходимость конструирования дидактического обеспечения к изучению данной темы;
5) разработать дидактическое обеспечение изучения темы «Логарифмические уравнения и неравенства».
Для решения поставленных задач использовались следующие методы:
• теоретический анализ учебной литературы в рамках темы исследования:
• сравнительный анализ учебников, учебных пособий по алгебре в старших классах:
• решение ключевых задач.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что предложена структура и содержание дидактического обеспечения, обоснована методика его проектирования и использования.
Практическая значимость исследования определяется тем, что содержащиеся в ней теоретические положения и выводы позволили разработать и применить дидактическое обеспечение к изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства».
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.

1. Обучение в классах с углубленным изучением математики
Целью профильного обучения, в соответствии с приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 18.07.2002 г. № 2783 «Об утверждении Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования», является создание условий для образования старшеклассников с учётом их склонностей и способностей, обучения в соответствии с профильными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Сейчас можно выделить следующие основные профили: естественно-математический, гуманитарный, технологический, социально – экономический.
Цели и задачи профильного обучения.
Профильное обучение направлено на реализацию личностно – ориентированного учебного процесса. Учащийся может самостоятельно выстроить индивидуальную образовательную траекторию. Таким образом, переход к профильному обучению преследует следующие цели:
1.
...

2.1. Средства обучения и их виды
Рассмотри средства обучения. Если дать опережение средствам обучения, то это объекты, которые создаются людьми и используются в учебном процессе с целью использования в качестве носителей учебной информации, используемых учителем и учащимися для достижения ими поставленных целей для обучения, развития и воспитания.
Под дидактическими средствами обучения, понимаются все элементы входящие в среду обучения, которые учитель осознанно применяет для целенаправленного взаимодействия с учащимися.
Применение средств обучения способствует качественному оснащению учебного процесса.
Все дидактические средства можно разделить на группы по сути происхождения, существования и назначения дидактические средства.
1.  Трансцендентальные – это средства, которые используются независимо от социального сознания учащегося, включены во все стадии процесса обучения, и служат для полной многократной проверки истинности получаемых знаний.

2.2. Классификация дидактических средств и использование их на уроках
Для рассмотрения классификации дидактических средств обратимся к классификации, которую осуществили Эдвард Флеминг и Ян Якоб, она является наиболее простой. Они подразделяют дидактические средства на три группы:
1. Природные средства, которые могут представлять саму действительность.
2. Технические средства, которые могут косвенно отображать действительность. К этой группе относят визуальные, аудиовизуальные, манипуляционные, автоматические средства и модели.
3. Символические средства, которые могут представлять действительность с помощью соответствующей символики, например живого и печатного слова, звуков, технических рисунков, графов и т.п.
Если детально изучить эту классификация, конечно можно заметить, что она, как и многие другие, не отвечает всем основным логическим требованиям, поскольку между техническими и символическими средствами линию разграничения установить трудно.
...

2.1. Основные типы логарифмических уравнений.
1. Простейшие уравнения
Решение простейшего логарифмического уравнения основано на следующим важном свойстве логарифмов: логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию равны тогда, когда равны эти числа.
Для уравнения из этого свойства получаем - единственный корень.
Для уравнения вида получаем равносильное уравнение f(x)
К простейшим логарифмическим уравнениям относится также уравнение вида , которое:
а) при а≠1 и b≠0 имеет единственный корень ;
б) при а=1 и b=0 имеет решение любое положительное число, отличное от единицы;
в) при а=1 и b≠0 не имеет корней;
г) при а≠1 и b=0 не имеет корней.

2.2. Методы решения логарифмических уравнений
1.По определению логарифма
Так решаются простейшие уравнения вида
1) Решить уравнение:

Решение. По определению логарифма:

Ответ:
2) Решить уравнение:

Найдем область допустимых значений уравнения.
ОДЗ:

– посторонний корень, так как не входит в область допустимых значений.
Ответ: х=6
1) Решить уравнение

Решение: область определения данного уравнения задается условием:

Решим неравенство:

Найдем корни квадратного трехчлена

Решим уравнение:

Разложим на множители:

Получим неравенство:

+ - +
-1 0 Х
Рис.2

С учетом условия
Область определения



х=0 не входит в область определения.
Ответ: х=4


2.3. Методы решения логарифмических неравенств
Рассмотрим основные методы решения логарифмических неравенств:
1.По определению логарифма
Простейшие логарифмические неравенства имеют следующий вид (). Для их решения используют основное логарифмическое тождество (b=) и получают:
().
Теперь делаем выводы:
Если a>1, то f(x)>, решаем это неравенство.
Если 0 Таким же образом поступаем при решении неравенства .
При выписывании ответа не забываем, что a > 0, а1и f(x)>0.
1)Решить неравенство: .
Решение: Данное неравенство решим по второму способу
2,5>1 , т.е. 0 Ответ: .
2) Решить неравенство: .
Данное неравенство решим по первому способу:
4>1, т.е. 2 Ответ: .

2.4. Разработка дидактического обеспечения методов решения логарифмических уравнений и неравенств.
Так как в учебниках теории по методам решения логарифмических уравнений и неравенств не слишком много, было решено разработать дидактическое обеспечение к изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства» и показать на примере уроков его применение.
Дидактическое обеспечение урока:
1. средства наглядности;
2. средства обучения;
3. компьютерные программы педагогического назначения;
4. средства контроля.
Рассмотрим примеры дидактических средств.
1. Средства наглядности.
1)
способ решения по определению
2)

способ решения потенцированием

3)
способ введения новой переменной
4)
способ решения логарифмированием

Таблица. Равносильные переходы в неравенствах.

Таблица. Равносильные переходы в уравнениях.
...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Дидактическое обеспечение обучения даёт возможность наиболее полно и глубоко раскрыть, а также доходчивее и проще изложить содержание учебного материала, способствуя формированию у учащихся положительных мотивов.
В своей работе учитель может использовать различные средства наглядности: реальные объекты, их изображения, модели изучаемых объектов и явлений. Знание форм сочетания слова и средств наглядности, их вариантов и сравнительной эффективности дает возможность учителю творчески применять средства наглядности с учетом поставленной дидактической задаче, особенностям учебного материала и конкретным условиям обучения.
Широкая практика применения дидактических средств обучения показывает, что они, выступая в роли источника информации, помогают учителю освободиться от большого объема чисто технической работы, оставляя время для творческой деятельности с учащимися.
...

1. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 – 11кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дуднинцын и др.: Под. ред. А.Н. Колмогорова. – 15 –е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 384 с.
2. Алгебра и начала анализа(профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений./ А. Г. Мордкович. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 375 с.
3. Алгебра и начала анализа(профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская; Под ред. А. Г. Мордковича. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.
4. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс. / Шабунин М.И., Прокофьев А.А. – М.: БИНОМ, 2007. - 424 с.
5. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс / Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.: учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2009.-430с.
6. Алгебра и математический анализ. 11 кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – 8-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2001. – 288 с.
7. Алгебра и начала анализа, 8-11 кл.: Справочник. / Под ред. Мартковича. – М., 1999
8. Алгебра и начала анализа: дидакт. материалы для 10 кл. /М.К. Потапов, А.В. Шевкин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 159с.
9. Генденштейн Л.Э. и др. Наглядный справочник по алгебре и начала анализа с примерами для 7-11 классов. – М.: Илекса, 1997
10. Логарифм числа. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Методическое пособие для учащихся подготовительных курсов. / Сост. К.Э.Кайбханов. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. – 32с.