Работа выполнена на отлично,автор выполнил в срок.Заказываю у этого автора не в первый раз,все быстро и качественно.Рекомендую
Информация о работе
Подробнее о работе
Площади неевклидовых многоугольников
- 27 страниц
- 2020 год
- 13 просмотров
- 0 покупок
Гарантия сервиса Автор24
Уникальность не ниже 50%
Фрагменты работ
Введение 3
1. Сферическая геометрия и неевклидова геометрия Римана 6
2. Примеры теорем неевклидовой геометрии Римана. Площадь треугольника и многоугольника 9
3. Геометрия Лобачевского 14
4. Площадь многоугольников 20
Заключение 26
Список литературы 27
Первым неевклидовым геометром можно считать самого Евклида. Его нежелание использовать «несамоочевидный» пятый постулат следует хотя бы из того, что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату. С первого века до н.э. до 1820 математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями такими как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности». Ближе всех подошел к цели логик и математик Дж. Саккери, который начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери.
Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле, и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию, поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно так же Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.
К. Гаусса принято считать одним из величайших математиков всех времен. Он первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее само, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 году он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречии, развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии примерно в 1825 году венгру Я. Бойяи и русскому Н. И. Лобачевскому. Бойяи опубликовал свою работу до того, как услышал о Лобачевском. А сам, Лобачевский, судя по всему, так никогда и не узнал об исследованиях Бойяи. В 1854 Б. Риман заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок. В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становится верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дела было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.
Неевклидова геометрия — в буквальном понимании, любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида. Однако, традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.
Сферическая геометрия и неевклидова геометрия Римана
[1] Соколова, Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского / Д. Ю. Соколова // Сиб. электрон, матем. изв. - 2012. - Т. 9. - С. 256- 260.
[2] Понарин, Я. П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия / Я. П. Понарин. - М.: МЦНМО. 2004. - С. 312.
[3] Bretschneider, C. A. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes / C. A. Bretschneider // Arch. Math. - 1842. - Bd. 2. - S. 225-261.
[4] Байгонакова, Г. А. Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии / Г. А. Байгонакова // Автореферат. -2013. -Т. - С. 10-16.
[5] Байгонакова, Г. А. Площадь трапеции в сферической геометрии / Г. А. Байгонакова, Д. Ю. Соколова // Материалы школы конференции по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, И - 19 августа, 2012 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. - С. 12-13.
[6] Винберг, Э. Б. Геометрия 2. Современные проблемы математики / Э. Б. Винберг - М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1988. Т. 29. - С. 1-146.
[7] Яглом, И. М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования / И. М. Яглом - М.: Гос. изд. технико-теоритической литературы, 1956. - С. 154.
Форма заказа новой работы
Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям
