Перед покупкой сверьте список вопросов и убедитесь, что вам нужны ответы именно на эти вопросы!
С вопросами по тесту Основы научных исследований вы можете ознакомиться ДО покупки - это необходимо, так как вопросы и ответы теста могут меняться в зависимости от преподавателя и ВУЗА СИНЕРГИЯ, МТИ, МОИ....
ТЕСТ 1
Значение выражения і⁴ равно …
Квадрат модуля комплексного числа 2 + 3і равен …
Комплексно-сопряженным для числа 2 – 8і является число …
Мнимая часть комплексного числа (InZ) z = 2 + 3і равна …
Произведение чисел (1 – 2i)(3 + 4i) равно …
• 11 – 2i
• 3 – 8i
• 11 + 2i
Соотнесите формы комплексного числа с их видом:
A. Алгебраическая форма
B. Показательная форма
C. Тригонометрическая форма
D. z=a+ib
E. z = | z | e^iφ
F. z=|z|·(cos(φ)+isin(φ))
Сумма комплексных чисел 2 – 9і и 6 – і равна …
• 8 + 10i
• –7 + 5i
• 8 – 10i
Упорядочьте комплексные числа по возрастанию мнимой части:
1 1 – 3i
2 –2 + 4i
3 5i
Ученику необходимо вычислить z⁻³, если z = 1 – i.
Какой ответ окажется верным?
• –0,25 + 0,25i.
• –0,25 – 0,25i.
• 0,25 – 0,25i.
Число 3-4i представимо в тригонометрической форме в виде …
• 5(cosф + isinф)
• 7(cosф + isinф)
• 3cosф – 4isinф
Число 6+2i представимо в показательной форме в виде …
• 6cosф + 2isinф
• √40e^iф
• 40eiф
ТЕСТ 2
Даны матрицы ((8, –4), (–5, 0)) и ((1, –7), (4, 9)).
Найдите значение выражения A² – Bᵀ.
• ((75, 36), (–16, 11)).
• ((83, –36), (–33, 11)).
• ((–83, 36), (33, –11)).
Матрица ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)) имеет размерность …
• 4х4
• 3х3
• 4х3
Матрица А называется ... с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В
Матрица порядка n имеет ... миноров (n-1)-го порядка
• n+1
• n²
• n
Понятие определителя вводится для ... матриц
• треугольных
• квадратных
• ступенчатых
Пусть дана матрица А = ((2, 3), (4, –5)), тогда ее определитель равен …
• 22
• -25
• -22
Разностью матриц A и B называется … матрицы A с матрицей, противоположной матрице B
Сопоставьте размерность матрицы и формулу для вычисления ее определителя:
A. A(1×1)
B. A(2×2)
C. A(3×3)
D. a₁₁
E. a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁
F. Σ (−1)ᵏ⁺¹a₁ₖM₁ₖ
Число, которое вычисляется по формуле a₁₁ · a₂₂ – a₁₂ · a₂₁ для матрицы A = ((a₁₁, a₁₂), (a₂₁, a₂₂)) называется …
Числовой матрицей размера m х n называется …
• четная или нечетная числовая функция
• прямоугольная таблица m х n чисел, состоящая из m строк и n столбцов
• вектор
ТЕСТ 3
Матрица называется ... матрицей, если в каждой ее ненулевой строке имеется такой ненулевой элемент, что все остальные элементы столбца, содержащего этот элемент, равны нулю
Пусть дана система уравнений {x − y = −1, 2x + y = 7, тогда сумма решений (x + y) этой системы равна …
Пусть дана система уравнений {3x + 2y − 4z = 8, 2x + 4y − 5z = 11, 4x − 3y + 2z = 1.
Найдите сумму корней x+y+z.
• 9
• 7
• 6
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда определитель |A| этой системы равен …
• -19
• -20
• -22
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда определитель |A₁| этой системы равен …
• 44
• 40
• 38
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда определитель |A₂| этой системы равен …
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда определитель |A₃| этой системы равен …
• 1
• 0
• -1
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда решение этой системы (x₁, x₂, x₃) равно …
Расположите выражения, известные для системы линейных уравнений (см. ниже), в следующем порядке: «основная матрица системы, матрица неизвестных, матрица правой части»: {2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + x₄ = 1, x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 2x₄ = 3, 7x₁ + 5x₂ + 6x₃ + 7x₄ = 2
1 ((2, 3, 4, 1), (1, 4, 3, 2), (7, 5, 6, 7))
2 ((x₁), (x₂), (x₃))
3 ((1), (3), (2))
Система уравнений {x₁ − 2x₂ + 3x₃ = 0, −x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 3x₄ = 0, −5x₂ + 2x₄ = 0 имеет …
• одно решение
• бесконечно много решений
• ни одного решения
Установите соответствие понятия и его характеристики:
A. Совместная система уравнений
B. Несовместная система уравнений
C. Определенная система уравнений
D. система уравнений, имеющая хотя бы одно решение
E. система уравнений, не имеющая решений
F. совместная система уравнений, имеющая единственное решение
ТЕСТ 4
Два ненулевых вектора на плоскости называются … , ели они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых
Две прямые y₁ = 3x + 5 и y₂ = −2x + 1 на плоскости …
• пересекаются
• параллельны
• совпадают
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1,3) и B(−2,5), имеет вид …
• (x−2)/(−2) = (y−3)/2
• (x−1)/(−3) = (y−3)/2
• (x+3)/(−2) = (y−2)/(−3)
На плане местности изображена дорога и дерево, стоящее в стороне. Чтобы вычислить кратчайшее расстояние от дерева до дороги на карте ввели систему координат: дерево представили точкой с координатами A(1,5), дорогу представили прямой с уравнением 3x – 4y – 3 = 0.
Найдите расстояние от дерева до дороги.
• Расстояние равно 6.
• Расстояние равно 5.
• Расстояние равно 4.
Расположите прямые y₁, y₂ и y₃, заданные уравнениями, в порядке убывания их угловых коэффициентов:
1 y₂ = x + 2
2 y₁ = –x – 3
3 y₃ = –3x
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на … угла между ними
Сопоставьте способ задания прямой на плоскости и ее уравнение:
A. Общее уравнение прямой
B. Известны точка M(x₀, y₀) и нормаль n(A, B)
C. Известны точка M(x₀, y₀) и направляющий вектор l(A, B)
D. Ax + By + C = 0
E. A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0
F. (x − x₀) / A = (y − y₀) / B
Сумма координат точки пересечения прямых y₁ = 3x + 2 и y₂= x + 1 равна …
Уравнение прямой, проходящей через точки A(1,3) и B(1,5), имеет вид …
• x = 1
• x = −1
• y = 1
Уравнение прямой, проходящей через точки A(2,3) и B(0,5), имеет вид …
• y = 2x − 3
• y = −5x + 1
• y = –x + 5
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки A(1,3) и B(−2,5), имеет вид …
• y = (–2/3)x + 11/3
• y = (2/3)x + 11/3
• y = (–2/3)x – 11/3
ТЕСТ 5
Величина p в уравнении кривой (y – y₀)² = ± 2p · (x – x₀) называется …
• фокус
• параметр
• директриса
Дано: расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10.
Составьте уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат.
• x²/16 – y²/9 = 1.
• x²/25 – y²/16 = 1.
• x²/64 – y²/25 = 1.
Действительная ось (Оу) и мнимая ось (Ох) гиперболы равны 8 и 6 соответственно, тогда координаты фокусов гиперболы равны …
• F₁,₂ (±5; 0)
• F₁,₂ (0; ±10)
• F₁,₂ (0; ±5)
Кривая, состоящая из всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется …
Кривая второго порядка, имеющая асимптоты, – это …
Кривая второго порядка, имеющая радиус – это …
• окружность
• эллипс
• гипербола
Расположите условия взаимного расположения точки M(x₁,y₁) и окружности x² + y² = R² в следующем порядке: «точка лежит на окружности, точка лежит вне окружности, точка лежит внутри окружности»:
1 x₁² + y₁² = R²
2 x₁² + y₁² > R²
3 x₁² + y₁² < R²
Расстояние от точки, лежащей на параболе, до фокуса равно 6, тогда расстояние от этой точки до директрисы равно …
Сопоставьте уравнения кривой второго порядка и его описание:
A. y² = ±2p · x
B. x²/a² + y²/b² = 1
C. x² + y² = R²
D. уравнение параболы с вершиной в начале координат
E. уравнение эллипса с центром в начале координат
F. уравнение окружности с центром в начале координат
Уравнение x²/16 + y²/16 = 1 задает …
• гипербола
• окружность
• эллипс
Фокусы эллипса находятся …
• на малой оси внутри эллипса
• снаружи эллипса на большой оси
• внутри эллипса на большой оси
ТЕСТ 6
Бесконечно большой функцией при х ⟶ 0 является …
• y(x) = (x – 3)²
• y(x) = 1/x²
• y(x) = x³
Бесконечно малой функцией при х ⟶ 3 является …
• y(x) = 1/x²
• y(x) = x³
• y(x) = (x – 3)²
Данный предел lim (7x² + 4x − 3) / (2x² + 3x + 1), x⟶−2 равен …
• 15/3
• 17/3
• 14/3
Значение предела lim (2x⁵ − 3x³ + 1) / (x⁵ + 4x² + 2x), x⟶∞ равно …
Предел функции lim (–eˣ⁻² + x² + 3x) , x⟶2 равен …
Предел функции lim (1 + 3x + x²) / (x + 4), x⟶∞ равен …
• 5
• ∞
• 0
Предел функции lim (3x + 1) / (2x – 1), x⟶1 равен …
Предел функции lim (6 + 3x + x²) / (2 + x – x²), x⟶∞ равен …
• -1
• 0
• 1
При нахождении предела lim (√(x – 2) – √x), x⟶∞ студент понял, что имеет дело с неопределенностью вида [∞/∞].
Он решил раскрыть эту неопределенность умножив и разделив на сопряженное выражение.
Решите данный предел и укажите ответ.
• 0
• ∞
• -1
Расположите обозначения в следующем порядке: «область определения функции, область значений функции, значение функции в точке»:
1 D(f)
2 E(f)
3 f(x₀)
Сопоставьте свойства пределов и их значения:
A. lim c ⋅ f(x), x⟶x₀
B. lim (f(x) + g(x)), x⟶x₀
C. lim f(x) / g(x), x⟶x₀
D. c ⋅ lim f(x), x⟶x₀
E. lim f(x), x⟶x₀ + lim g(x), x⟶x₀
F. lim f(x), x⟶x₀ : lim g(x), x⟶x₀
ТЕСТ 7
… функции y = f(x) в точке x называется главная, линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке: dy = y(x)'Δx
График функции y = f(x) называется … на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале
Мгновенная скорость материальной точки, движущейся прямолинейно по закону s = 3sin(2t – 2) в момент t=1 равна …
Необходимое условие достижения функцией f(x) экстремума в точке x …
• f(x) = 0
• f '(x) = 0
• f '(x) = 1
Производная второго порядка от функции y = x^7 равна …
• y'' = 7x6
• y'' = 42x⁵
• y'' = x⁵
Производная сложной функции y = cos³x равна …
Производная сложной функции y = e^(sin x) равна …
• sinxe^(sin x−1)
• cosxe^(sin x)
• e^(cos x)
Производная функции у = 3х³ + 2x² − 5x + 7 равна …
• 9x² + 4x – 5
• 21x² − 4x + 5
• −21x² − 4x − 5
Пусть дана функция y = (3x² − 1)⁵.
Укажите верное рассуждения при нахождении ее производной.
• Пусть 3x² − 1 = u, тогда y = u⁵. По теореме о производной сложной функции y' = (u⁵)' = 5u⁴; u' = (3x² − 1)' = 6x. Тогда y' = 5(3x² − 1)⁴6x = 30x(3x² − 1)⁴.
• Пусть 3x² − 1 = u, тогда y = u⁵. По теореме о производной сложной функции y' = (u⁵)' = 5u⁴; Тогда y' = 5(3x² − 1)⁴.
• Пусть 3x² − 1 = u, тогда y = u⁵. По теореме о производной сложной функции y' = (u⁵)' = 10u Тогда y' = 10.
Расположите значения производных для функций в следующем порядке: «y = xⁿ, y = aˣ, y = √x»:
1 y' = n ⋅ xⁿ⁻¹
2 y' = aˣ ⋅ lna
3 y' = 1 / 2√x
Сопоставьте правила дифференцирования и их формулы:
A. (u + v)'
B. (u ∙ v)'
C. (u / v)'
D. u' + v'
E. u'v + uv'
F. (u'v − uv') / v²
ТЕСТ 8
Дан неопределенный интеграл ∫ (5х³ − 4cosx + 3/sin²x)dx.
Укажите правильное решение.
• ∫ (5х³ − 4cosx + 3/sin²x)dx = ∫5х³dx − ∫4cosxdx + ∫3/sin²xdx = 5∫xdx − 4∫cosxdx + 3∫dx/sin²x = 5 · x/4 – 4cosx – 3ctgx + C.
• ∫ (5х³ − 4cosx + 3/sin²x)dx = ∫5х³dx − ∫4cosxdx + ∫3/sin²xdx = 5∫x³dx − 4∫cosxdx + 3∫dx/sin²x = 5 · x⁴/4 – 4sinx – 3ctgx + C.
• ∫ (5х³ − 4cosx + 3/sin²x)dx = ∫5х³dx − ∫4cosxdx + ∫3/sin²xdx = 5∫x³dx − 4∫cosxdx + 3∫dx/sin²x = 5 · x⁴/4 – 4cosx – 3ctgx + C.
Множество всех первообразных функции f(x) называется … от этой функции (укажите словосочетание)
Неопределенный интеграл ∫ (3x+8)^6dx равен …
• 1/3 (3x+8)^7 + C
• 1/7 (3x+8)^7 + C
• 1/21 (3x+8)^7 + C
Неопределенный интеграл ∫ x^10dx равен …
• x^11 + C
• x^11 / 11 + C
• 1/10 x^11 + C
Неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³dx равен …
• 2x⁴ + C
• -8x⁵/5 + C
• −2x³ + 3x⁴ − 8x⁵/5 + C
Неопределенный интеграл ∫ xeˣdx равен …
• xeˣ − eˣ + C
• xeˣ + eˣ + C
• x²eˣ − eˣ + C
Постоянный множитель, можно … за знак интеграла
Равенство ∫udv = uv − ∫vdu называют формулой интегрирования по …
Расположите первообразные для данных функций в следующем порядке: «3x², 4x³, 5x⁴»:
1 x³ + C
2 x⁴ + C
3 x⁵ + C
Сопоставьте интеграл от элементарной функции и его значение:
A. ∫ dx/x
B. ∫ sinxdx
C. ∫ dx/cos²x
D. ln|x| + C
E. −cosx + C
F. tgx + C
Функция F(x) называется … для функции f(x), если F(x)' = f(x)
ТЕСТ 9
В формуле Ньютона-Лейбница ∫ f(x)dx, x=a..b равен …
• F(a) − F(b)
• F(b) – F(a)
• F(a) + F(b)
Дан определенный интеграл ∫ √(2x – 10)dx, x=7..23.
Укажите правильный выбор метода его решения.
• Необходимо сделать замену: пусть √(2x – 10) = t → 2x – 10 = t².
• Данный интеграл решается методом по частям: u = √x, v = 2x – 10.
• Данный интеграл решается подстановкой пределов интегрирования без каких-либо преобразований подынтегральной функции.
Интеграл ∫ √2/x dx, x=1..e равен …
• −√2
• 0
• √2
Интеграл ∫ (x + 1)(x – 1)dx, x=1..1 равен …
Интеграл ∫ x⁴dx, x=0..1 равен …
Непрерывность функции является … условием ее интегрируемости
Определенный интеграл ∫ x⁻⁴dx, x=1..+∞ равен …
• 1/3
• 3
• 1
Определенный интеграл ∫ x / √(1 + x)dx, x=3..8 равен …
• 1/2
• 7/5
• 32/3
Расположите значения интегралов в порядке возрастания:
1 ∫ x²dx, x=1..2
2 ∫ x⁴dx, x=1..2
3 ∫ (3 − 2x − x²)dx, x=-2..1
Сопоставьте свойства определенного интеграла и их записи:
A. Обе части неравенства можно почленно интегрировать
B. При перестановке пределов интеграла интеграл меняет свой знак
C. Значение определенного интеграла равно, при некотором c ϵ (а, b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a
D. a 0
2 |x – a| < δ
3 |f(x) – b| < ε
Две матрицы А и В называются … матрицами, если их размеры совпадают и их соответствующие элементы равны
Две прямые y₁ = 7x + 5 и y₂ = 7x – 5 на плоскости …
• совпадают
• перпендикулярны
• параллельны
Действительная часть (ReZ) комплексного числа z = 3 + 5і равна …
Дискретная случайная величина Х имеет … закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями P(X=m)=Cnmpmqn-m, где 0 < p < 1, q = 1 – p
Для комплексных чисел 3 + 2i и 7 – 3і расположите результаты арифметических действий в следующем порядке: сумма, разность, произведение:
1 10 – i
2 –4 + 5i
3 27 + 5i
Дробь 1/6 выразили десятичной дробью 0,17, тогда относительная погрешность такого приближения, выраженная в процентах равна …
• 0,17%
• 40%
• 0,33%
Если y = f(x) – … функция на отрезке [a; b], то определенный интеграл ∫ f(x)dx существует
Если элементы двух строк (столбцов) матрицы ... , то определитель равен нулю
Заданы множества А = (b, а), В = (a, 1, с), тогда декартовым произведением этих множеств А и В является множество …
• {(b, а), (b, 1), (b, с), (a, а), (a, 1), (a, c)}
• пустое множество
• {(a, b), (c, a), (1, b), (1, a), (c, b), (c, 1)}
Задачей … называется задача нахождения такого решения уравнения, которое при x = x₀ принимает значение y = y₀
Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей (см. ниже). Математическое ожидание равно …
• -0,1
• 0,5
• 0
Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей (см. ниже). Значение функции распределения этой случайной величины на интервале 2 < x равно …
Значение выражения (4 – 3i) + (8 + 5i) равно …
• 2 + 12i
• 12 + 2i
• –2 – 8i
Значение выражения i^10 равно …
Значение предела lim (5x³+x²+1) / (2x⁴−3x²+5x+2), x⟶∞ равно …
Значение производной функции y = ln(1 + 5x) в точке x₀ = 0 равно …
Игральный кубик бросают 4 раза. Случайная величина х — число выпадений 5 очков.
Возможные значения данной случайной величины – это …
• 4
• 1; 2; 3; 4; 5
• 0; 1; 2; 3; 4
Интеграл от алгебраической суммы функций, равен алгебраической … интегралов от этих функций
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(2,3) и В(7,5), имеет вид …
• (x–2)/5 = (y–3)/2
• (x–2)/6 = (y–3)/7
• (x–1)/5 = (y+2)/2
Квадрат модуля комплексного числа 7 – 4і равен …
Комплексно-сопряженным для числа 7 – 2і является …
• 7 + 2i
• –7 + 2i
• –2 + 7i
Косинус угла между прямыми y₁ = 2x + 1 и y₂ = –x + 2 равен …
• √10/10
• √10/15
• –√10/14
Кривая, состоящая из всех точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов), взятая по абсолютной величине, есть величина постоянная, называется …
Кривая второго порядка, имеющая директрису – это …
Матрица А называется ... , если ее определитель отличен от нуля
• вырожденной
• обратной
• невырожденной
Матрица А называется ... с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В
Мгновенная скорость материальной точки, движущейся прямолинейно по закону s = 2sin(4t – 4) в момент t=1 равна …
Неопределенный интеграл ∫(4x^9 – 2/x + 7sinx)dx равен …
• 4x^10 – lnx – cosxdx + C
• 2/5 x^10 – 2lnx – 7cosx + C
• x^10 – 2lnx + 7cosx + C
Неопределенный интеграл ∫ dx / (x²+4x+5) равен …
• arcsin(x + 2) + C
• arctg(x + 2) + C
• sin(x + 2) + C
Несколько событий называются … , если возможно появление нескольких событий одновременно
Общее решение дифференциального уравнения y' + y = 0 имеет вид …
• y = e⁻²ˣ + C
• y = Ce⁻ˣ
• y = eˣ
Общее решение дифференциального уравнения y'' – 6y' + 9y = 0 имеет вид …
• y = e⁻³ˣ (C₁ + C₂x)
• y = C₁e⁻³ˣ + C₂x
• y = C₁e⁻³ˣ
Определенный интеграл ∫ 1 / √(x + 1) dx, x=0..1 равен …
• 2√2
• 2√2 – 2
• –2√2
Определенный интеграл ∫ f(x)dx, x=2..2 равен …
Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения — это …
• относительная погрешность приближенного значения
• граница абсолютной погрешности измерения
• относительная погрешность точного значения
Переменная величина, которая принимает значения, зависящие от исходов испытания (то есть в зависимости от случая) – это … величина
Предел lim (x²−2x) / (x²−4), x⟶2 равен …
• 0,5
• 0,7
• 0
Предел функции lim (2 + 3x + 4x²) / (x + 2x² + 1), x⟶∞ равен …
Предел функции lim (25 – x²) / (x² – 5x), x⟶5 равен …
• 2
• 0
• -2
Предел функции lim x / (√(x + 4) – 2), x⟶0 равен …
При пересечении двух множеств получаем третье множество, которое …
• всегда состоит из одного элемента
• может состоять из одного элемента
• всегда не содержит элементов
Произведение комплексных чисел (3 – 2i)(2 + 5i) равно …
• 11 – 16i
• 6 – 10i
• 16 + 11i
Производная функции 2x⁴ − tgx в точке x=0 равна …
• 1
• 0
• -1
Производной функции f '(x) называется …
• Δf(x)
• Δf(x) / Δx
• lim Δf(x) / Δx, Δx⟶0
Процесс нахождения первообразной для данной функции называют ...
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A| этой системы равен …
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₁| этой системы равен …
• 33
• 34
• 35
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₂| этой системы равен …
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₃| этой системы равен …
• -33
• -34
• -35
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда решение (x₁, x₂, x₃) этой системы равно …
• (2,1,2)
• (-2,-1,-2)
• (2,1,-2)
Расположите в порядке возрастания вероятности следующих событий:
1 игральный кубик бросили один раз, какова вероятность выпадения цифры 3
2 игральный кубик бросили один раз, какова вероятность выпадения четной цифры
3 игральный кубик бросили один раз, какова вероятность выпадения цифры меньше 5
Расположите действия в логическом порядке для нахождения промежутков возрастания или убывания функции у = f(х):
1 найти область определения D(f) функции у = f(x)
2 найти производную функции f '(x)
3 найти критические точки, где f '(x) = 0 или f '(x) не существует
Расположите действия при решении системы уравнений методом Гаусса в логическом порядке (первое действие, второе действие и т.д.):
1 составить расширенную матрицу системы
2 с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
3 на основе полученной ступенчатой матрицы составить и решить систему линейных уравнений
Расположите дифференциальные уравнения в следующем порядке: «дифференциальное уравнение 1-го порядка, линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка»:
1 −12x + y' + 6y = 0
2 -3 y'' + 2y' + 3y = 0
3 2y'' – y' + 5y = x²
Расположите значения интегралов в порядке возрастания:
1 ∫ x³dx, x=0..1
2 ∫ 3x²dx, x=0..1
3 ∫ 4xdx, x=0..2
Расположите значения миноров M₁₁, M₁₃, M₂₁, M₃₂ матрицы A = ((2, −7, 3), (4, 5, −2), (−8, 1, −3)) в порядке убывания:
1 M₁₃
2 M₂₁
3 M₁₁
4 M₃₂
Расположите значения производных для функций в следующем порядке: «y = sinx, y = cosx, y = lnx»:
1 y' = cosx
2 y' = −sinx
3 y' = 1/x
Расположите множества в порядке убывания количества их элементов:
1 множество действительных чисел
2 множество рациональных чисел
3 множество натуральных чисел
Расположите первообразные для данных функций в следующем порядке: «5x⁴, 6x⁵, 7x⁶»:
1 x⁵ + C
2 x⁶ + C
3 x7 +C
Расположите результаты умножения матрицы A = ((3, 4), (0, −7), (−2, 5)) на число α в порядке α = 2, α = −3, α = 5, α = −5:
1 ((6, 8), (0, −14), (−4, 10))
2 ((−9, 12), (0, 21), (6, −15))
3 ((15, 20), (0, −35), (−10, 25))
4 ((−15, −20), (0, 35), (10, −25))
Расположите уравнения кривых второго порядка в следующем порядке: «эллипс, окружность, гипербола»:
1 x²/9 + y²/5 = 1
2 (x + 2)² + (y – 1)² = 1²
3 x²/9 – y²/1 = 1
Расположите формулы, выражающие свойства дисперсии в следующем порядке: «дисперсия от константы, дисперсия разности двух независимых случайных величин, дисперсия произведения двух независимых случайных величин»:
1 σ²(c) = 0
2 σ²[X – Y] = σx² + σy²
3 σ²[XY] = σx²σy² + (M(x))²σy² + (M(y))²σx²
Расположите формулы в следующем порядке: «первый замечательный предел, второй замечательный предел, предел отношения двух функций»:
1 lim sinx/x, x⟶0 = 1
2 lim (1 + 1/x)ˣ, x⟶∞ = lim (1 + x)^(1/x), x⟶0 = e
3 lim f(x)/g(x) = lim f(x) / lim g(x)
Расположите формулы в следующем порядке: «формула сложения вероятностей для совместных событий, формула умножения вероятностей, формула классической вероятности»:
1 P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)
2 p(A₁A₂ … An) = p(A₁) · p(A₂) · … · p(An)
3 P(A) = m/n
Расположите числа в порядке возрастания количества значащих цифр:
1 0,0016
2 0,712
3 45,03
Результат вычисления интеграла ∫ x⁴dx, x=1..3 равен …
• 1/5
• 243
• 242/5
Соотнесите арифметические действия с их результатами:
A. 2i * (5 + 3i)
B. (5 + 3i)²
C. (5 + 3i) * (–6 + 4i)
D. –6 + 10i
E. 16 + 30i
F. –42 + 2i
Сопоставьте арифметическое действие и его результат:
A. (–3 – 2i) + (5 + 3i)
B. (–3 – 2i) – (5 + 3i)
C. (–3 – 2i) * (5 + 3i)
D. 2 + i
E. –8 – 5i
F. –9 – 19i
Сопоставьте взаимное расположением прямых y₁ = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂ на плоскости и их условие:
A. Прямые параллельны
B. Прямые перпендикулярны
C. Прямые совпадают
D. k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂
E. k₁ ∙ k₂ = –1
F. k₁ = k₂, b₁ = b₂
Сопоставьте законы над множествами и их описание:
A. A ∪ B = A ∩ B; A ∩ B = A ∪ B}
B. A ∪ (A ∩ B) = A; A ∩ (A ∪ B) = A}
C. (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A; (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A}
D. законы де Моргана
E. законы поглощения
F. законы склеивания
Сопоставьте интеграл от элементарной функции и его значение:
A. ∫ eˣ dx
B. ∫ cosx dx
C. ∫ dx / sin²x
D. eˣ + C
E. sinx + C
F. -ctgx + C
Сопоставьте математическое высказывание и его обозначение:
A. Элемент принадлежит множеству
B. Множество включено в другое множество
C. Элемент не принадлежит множеству
D. a ∈ A
E. A ⊂ B
F. a ∉ A
Сопоставьте матрицу и ее вид:
A. ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 2))
B. ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))
C. ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
D. ((3, 0, 0), (2, 4, 0), (5, 1, 5))
E. квадратная матрица
F. нулевая матрица
G. единичная матрица
H. нижняя треугольная матрица
Сопоставьте понятие в определении неопределенного интеграла (∫ f(x)dx = F(x) + C) и его обозначение:
A. Переменная интегрирования
B. Подынтегральная функция
C. Первообразная
D. x
E. f(x)
F. F(x)
Сопоставьте правую часть нелинейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и его частное решение:
A. f(x) = aemx, m ≠ k₁ ≠ k₂
B. f(x) = aemx, m = k₁
C. f(x) = ax² + bx + c
D. ỹ = Aemx
E. ỹ = Axemx
F. ỹ = Ax² + Bx + C
Сопоставьте свойства пределов и их значения:
A. lim c, x⟶x₀
B. lim (f(x) ⋅ g(x)), x⟶x₀
C. lim (f(x) − g(x)), x⟶x₀
D. 0
E. lim f(x), x⟶x₀ ⋅ lim g(x), x⟶x₀
F. lim f(x), x⟶x₀ − lim g(x), x⟶x₀
Сопоставьте свойство определенного интеграла и его запись:
A. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
B. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций
C. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей
D. ∫af(x)dx = a∫f(x)dx
E. ∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
F. ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx
Сопоставьте событие и его вероятность:
A. Событие A – случайное
B. Событие A – достоверное
C. Событие A – невозможное
D. 0 ≤ p(A) ≤ 1
E. p(A) = 1
F. p(A) = 0
Сопоставьте событие и его характеристику:
A. При бросании игрального кубика выпадет меньше 7 очков
B. При бросании игрального кубика выпадет больше 7 очков
C. При бросании игрального кубика выпадет меньше 5 очков
D. достоверное событие
E. невозможное событие
F. случайное событие
Сопоставьте способ задания прямой на плоскости и ее уравнение:
A. Известны точка M(x₀, y₀) и угловой коэффициент k
B. Известны точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂)
C. Известны отрезки a и b
D. y = y₀ + k(x − x₀)
E. (x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁)
F. x/a + y/b = 1
Сопоставьте характеристику точности приближенной величины и ее формулу:
A. Абсолютная погрешность
B. Относительная погрешность
C. Предельная относительная погрешность
D. Δ = |A – a|
E. δ = Δ / |a|, a ≠ 0.
F. δa = Δa / |a|, a ≠ 0.
Сопоставьте числовую характеристику случайной величины и ее определение:
A. Математическое ожидание
B. Дисперсия
C. Среднеквадратическое отклонение
D. среднее значение случайной величины
E. мера разброса значений случайной величины относительно его математического ожидания
F. квадратный корень из дисперсии
Сумма координат точки пересечения прямых y₁ = 3x + 2 и y₂ = –2x + 3 равна …
Угол наклона к оси абсцисс касательной к графику функции y = 2x⁴ в точке с абсциссой x₀ = 0,5 равен …
• 45°
• 90°
• 30°
Уравнение ((x+1)²/16) – ((y+2)²/25) = 1 задает …
• гиперболу с центром в точке O (-1; -2)
• параболу с центром в точке O (1; 2)
• эллипс с центром в точке O (1; 2)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки А(2,3) и В(7,5), имеет вид …
• y = 0,4x – 3,2
• y = 0,4x – 2,2
• y = 0,4x + 2,2
Уравнение эллипса, полуоси которого равны a = 3, b = 2, имеет вид …
• x²/9 + y²/4 = 1
• x²/3 + y²/2 = 1
• x²/2 + y²/3 = 1
Фокусы гиперболы находятся на …
• действительной оси внутри гиперболы
• мнимой оси
• действительной оси снаружи гиперболы
Функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке x = 3 и lim f(x) = 2, x⟶3−0, тогда lim f(x), x⟶3+0 равен …
• 0
• -2
• 2
Функция у = f(x) называется … функцией на множестве D, если для любых x₁, x₂ ϵ D из неравенства x₁ < x₂ следует неравенство f(x₁) > f(x₂)
Центр эллипса (x–3)²/10 + (y+1)²/5 = 1 находится в точке …
• (3; 1)
• (3; –1)
• (10; 5)
Число, равное наивысшему порядку минора матрицы, называется …
• ранг матрицы
• определитель матрицы
• базис матрицы
Число 1,97 округлили до единиц, тогда относительная погрешность такого приближения в процентах равна …
• 15%
• 1,5%
• 0,1%
Число 3,12 округлили до единиц, тогда относительная погрешность такого приближения в процентах равна …
• 3,12%
• 30%
• 3,85%
Число k в интеграле ∫7e²ˣdx = ke²ˣ + C равно …
• 2/3
• 7/3
• 7/2
КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ТЕСТ
Выберите верное доказательство того, что функция f(x) = x² – 1 непрерывна в точке x = 4.
• Найдем значение функции в точке x = 4, f(4) = 15.
Вычислим предел: lim (x² – 1) = lim x² – lim 1 = 16 – 1 = 15.
Получили, что предел функции в точке x = 4 равен значению функции в этой точке. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.
• Найдем значение функции в точке x = 0, f(0) = 0.
Вычислим предел: lim (x² – 1) = lim x² – lim 1 = 16 – 1 = 15.
Получили, что предел функции в точке x = 0 не равен значению функции в этой точке. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.
• Найдем значение функции в точке x = 4, f(4) = 15.
Вычислим предел: lim (x² – 1) = lim x² – lim 1 = 1 – 1 = 0.
Получили, что предел функции в точке x = 4 равен 0, а значение функции в этой точке равно 15. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.
Дан неопределенный интеграл ∫sin(5x + 4)dx.
Укажите верное рассуждение для его решения.
• Введем новую подстановку, положив u = 5x + 4, du = (5x + 4)'dx = 5dx, dx = 1/5 du.
• Введем новую подстановку, положив u = sinx, du = (sinx)'dx = cosxdx, dx = (5x + 4)du.
• Подстановку вводить не нужно, это табличный интеграл.
Дан неопределенный интеграл ∫x³lnxdx.
Решите его методом по частям и укажите верный ответ.
• (lnx) x/4 – 1/16 x + C.
• x⁴/4 – 1/16 x⁴ + C.
• (lnx) x⁴/4 – 1/16 x⁴ + C.
Дан определенный интеграл ∫x²dx, x=1..2.
Укажите верное решение.
• ∫x²dx = x³/6 |₁² = 8/6 – 1/6 = 7/6.
• ∫x²dx = x³/3 |₁² = 8/3 – 1/3 = 7/3.
• ∫x²dx = x³/3 |₁² = 6/3 – 3 = –1.
Дан предел lim ˣ√(1 + 5x), x→0.
Выберите верное рассуждение для решения данного предела.
• lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)ˣ = [1ˣ] = lim (1 + 5x) = e0 =1.
• lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)1/ˣ = [1∞] = lim (1 + 5x)^(1/5x)⁵ = e⁵.
• lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)1/ˣ = [1∞] = lim (1 + 5x)0 = 0.
Дан чертеж (см. ниже).
По данному чертежу вычислите площадь плоской фигуры, используя формулу S = ∫(f₂(x) – f₁(x))dx, x=a..b.
• 9/2.
• 7/2.
• 11/2.
Дана гипербола x²/25 – y²/64 = 1.
Запишите уравнение ее директрис и асимптот.
• Уравнение директрис x = ±16/√41; уравнение асимптот y = ±5/4 x.
• Уравнение директрис x = ±25/√41; уравнение асимптот y = ±5/4 x.
• Уравнение директрис x = ±41/√16; уравнение асимптот y = ±5/4 x.
Дана система уравнений {5x₁ − 2x₂ + 4x₃ = 5, 2x₁ + 3x₂ − x₃ = 7, 3x₁ − x₂ + 2x₃ = 3.
Решите систему уравнений методом Крамера.
• x₁ = −1, x₂ = 2, x₃ = −1.
• x₁ = −1, x₂ = −2, x₃ = −1.
• x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 1.
Дана система уравнений {x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 1, 2x₁ − 1x₂ + 2x₃ = 6, x₁ + x₂ + 5x₃ = −1.
Укажите ступенчатую матрицу, полученную при решении данной системы методом Гаусса.
• ((1, 0, 0, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, –1)).
• ((1, 0, 0, –4), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, –1)).
• ((1, 2, 3, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)).
Дана функция у = eˣ / sinx.
Найдите производную функции, используя правило дифференцирования отношения двух функций.
• eˣ (sinx + cosx) / sin²x.
• eˣ (sinx – cosx) / sin²x.
• eˣ (sinx – cosx) / sinx.
Дана функция y = lgx – 8tgx.
Найти производную функции.
• 1/xln10 – 8/cos²x.
• 1/xln10 + 8/cos²x.
• 1/xln10 – 8/cosx.
Дано дифференциальное уравнение 2уу' = 1 – 3х².
Решите его и укажите верный вид общего решения.
• y² = Cxe⁻ˣ.
• y² = x – x³ + C.
• y = x – x³.
Дано дифференциальное уравнение y'' + 6y' + 8y = 0.
Решите его и укажите верный вид общего решения.
• y = (C₁e⁻²ˣ + C₂e⁻⁴ˣ).
• y = C₁e⁻³ˣ + C₂e⁻⁴ˣ.
• y = (C₁eˣ + C₂e⁻⁴ˣ).
Даны две прямые на плоскости x – 3y + 5 = 0 и 2x + 4y – 7 = 0.
Найдите угол между этими прямыми.
• 90°.
• 45°.
• 120°.
Даны множества А={11;12;43;54;7}, В={7;12}.
Найдите дополнение к множеству В до множества А.
• A \ B = (11;43;54}.
• A \ B = {7;12}.
• A \ B = {11;43;54;7;12}.
Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм.
Найдите вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм.
• P(α ≤ X ≤ β) = ∫f(x)dx; P(α ≤ X ≤ β) = Ф((β – a)/σ) – Ф((α – a)/σ)
P(34 ≤ X ≤ 43) = Ф((43 – 40)/3) – Ф((34 – 40)/3) = Ф(2) – Ф(–2) =
= Ф(1) + Ф(2) = 0,4772 + 0,4772 = 0.
• P(α ≤ X ≤ β) = ∫f(x)dx; P(α ≤ X ≤ β) = Ф((β – a)/σ) – Ф((α – a)/σ)
P(34 ≤ X ≤ 43) = Ф((43 – 40)/3) – Ф((34 – 40)/3) = Ф(1) – Ф(–2) =
= Ф(1) + Ф(2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185.
• P(α ≤ X ≤ β) = ∫f(x)dx; P(α ≤ X ≤ β) = Ф((β – a)/σ) – Ф((α – a)/σ)
P(34 ≤ X ≤ 43) = Ф((43 – 40)/3) – Ф(0) = Ф(1) – Ф(0) =
= Ф(1) + Ф(2) = 0,3413 + 0 = 0,3413.
Для приближенного числа х=72,356 известна абсолютная погрешность Δа = 0,04.
Определите его верные значащие цифры.
• Верными являются цифры 7; 2; 3; 5.
• Верными являются цифры 7; 2; 3.
• Верными являются цифры 7; 2; 3; 5; 6.
Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают аккумуляторов. Дано: n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Определите вероятность того, что среди аккумуляторов m-l исправных, используя формулу Бернулли.
• 0,0847.
• 0,0564.
• 0,0394.
На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: «а», «м», «р», «т», «ю». Карточки тщательно перемешаны.
Найдите вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово «юрта».
• 1/120.
• 1/12.
• 1/6.
На плоскости даны прямая y = 4/3x – 4 и точка A(1, –4).
Найдите расстояние от прямой до точки.
• 0,8.
• 0,6.
• 0,4.
Преподаватель на экзамене попросил студента найти определитель транспонированной матрицы к матрице A = ((1, –1, 2), (3, 4, –5), (7, –9, –8)).
Что должен ответить студент?
• -167
• -176
• -177
Преподаватель на экзамене попросил студента представить комплексное число z = (5+i) / ((1+i)(2–3i)) в виде a + bi.
Что должен ответить студент?
• 12/13 + 5/13i.
• 11/13 + 15/13i.
• 12/18 + 5/18i.
Пусть дана матрица A = ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1)).
Чему будет равна сумма миноров M₂₂ + M₃₃ ?
• -11
• -12
• -13
Студенту на экзамене попался вопрос: «Число z⁻1, обратное числу z = 3 – i – это …».
Что должен ответить студент?
• –0,3 + 0,1i.
• 0,3 – 0,1i.
• 0,3 + 0,1i.
...
Абсцисса точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂ =-2x-1 равна …
В древнем Китае матрицы называли …
• «умными прямоугольниками»
• «прекрасными трапециями»
• «красивыми треугольниками»
• «волшебными квадратами»
Вектор a{1, 2, 3} имеет длину, равную …
• √219
• √218
• √220
Векторное произведение векторов a{1, 2, 3} и b{5, 4, 3} равно …
• {-7,12,6}
• {-6,12,-6}
• {-7,-10,6}
Вронскианом называется определитель вида …
• |(y₁, y₂), (y₁', y₂')|
• |(y₁, y₂), (y₁², y₂²)|
• |(y₁, y₂), (y₁'', y₂'')|
Габриэль Крамер опубликовал «правило Крамера» в …
• 1781 г.
• 1751 г.
• 1741 г.
• 1791 г.
График нечетной функции симметричен относительно …
• оси ординат
• оси абсцисс
• начала координат
Данное дифференциальное уравнения (2x+1) y'+y=x …
• является линейным
• является однородны
• не является ни однородным, ни линейным
Две плоскости пересекаются, если они имеют …
• одну общую точку
• две общие точки
• бесконечно много общих точек
Две прямые y₁=7x+5 и y₂=7x-5 на плоскости …
• параллельны
• пересекаются
• могут пересекаться или быть параллельными
Дискриминант характеристического уравнения данного дифференциального уравнения y''+5y'-6y=0 равен …
Дифференциал функции двух переменных z=3x+2y имеет вид …
• dz=3dx
• dz=5dy
• dz=3dx+2dy
Если дифференцируемые функции y₁=y₁(x) и y₂=y₂ (x) линейно независимы от решения дифференциального уравнения на (a,b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не может быть равен …
• 0
• 1
• -1
Если известно, что функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке x = 3 и lim f(x) = 2, x⟶3−0, тогда lim f(x), x⟶3+0 равен …
• 0
• -2
• 2
Если даны матрицы ((8, −4), (−5, 0)) и ((1, −7), (4, 9)), то значение выражения A² − Bᵀ будет …
• ((75, 36), (−16, 11))
• ((83, −36), (−33, 11))
• ((−83, 36), (33, −11))
• ((8, −4), (−5, 0))
Если свойство транспонирования произведения матриц выглядит как (A⋅B)T=BT⋅AT, то можно утверждать, что транспонирование произведения матриц есть …
• произведение транспонированных матриц, взятых в том же порядке
• произведение транспонированных матриц, взятых в обратном порядке
• сумма транспонированных матриц, взятых в том же порядке
• разность транспонированных матриц, взятых в обратном порядке
Задачей … называется задача нахождения такого решения уравнения, при котором интегральная кривая решения проходит через точку с координатами (x₀,y₀)
Значение предела lim (5x³ + x² + 1) / (2x⁴ − 3x² + 5x + 2), x⟶∞ равно …
Значение предела lim x² + 2y² + 6, x⟶0, y⟶1 равно …
Значение производной функции y=3x³+2x²-5x+7 в точке x₀=0 равно …
Значение производной функции y=ln(1+5x) в точке x₀=0 равно …
Значение производной функции y=x∙lnx в точке x₀=e равно …
Значение функции z(x;y)=3x-2y+16 в точке A(1; 2) равно …
Какое из следующих действий не относится к элементарным преобразованиям матрицы
• умножение строки на число, отличное от нуля
• перестановка местами двух строк
• возведение строки в квадрат
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(-3,0) и B(5,2), имеет вид …
• (x+3)/8 = (y-1)/2
• (x+3)/8 = y/2
• (x+3)/10 = (y-2)/-10
Координаты середины отрезка с концами в точках А(3,-2,5) и А(5,2,-7) равны …
• (4,-2,6)
• (1,0,-3)
• (4,0,-1)
Косинус угла между прямыми y₁=2x+1 и y₂=-x+2 равен …
• √10 / 10
• √10 / 15
• 0.6
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''+4y'=10x²+1 имеет частное решение с неопределенными коэффициентами вида …
• y̅ = Ax² + Bx + C
• y̅ = Ax
• y̅ = x + 10
Матрица ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)) имеет размерность …
• 3 х 4
• 4 х 4
• 3 х 3
• 4 х 3
Матрица А называется невырожденной, если …
• |A|=0
• |A|≠0
• |A|>0
Матрица произвольной размерности A = ((a11, a12, …, a1n), (0, a21, …, a2n), (…, …, …, …), (0, 0, 0, 0)), где a11, a22, …, arn ≠ 0, называется … матрицей
Метод решения линейного дифференциального уравнения, при котором решение ищется в виде произведения двух функций, называется методом …
Множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности, называется …
Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называется … уравнения
Неопределенный интеграл ∫ dx / (x² + 4x + 5) равен …
• arcsin(x+2)+C
• arctg(x+2)+C
• sin(x+2)+C
Несобственный интеграл является … интегралом, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла
Общее решение уравнения y'+4y=0 имеет вид …
• y = c₁ + e²ˣ
• y = c₁e²ˣ + c₂e²ˣ
• y = c₁cos2x + c₂sin2x
Общее решение уравнения y''+5y'-6y=0 имеет вид …
• y=c₁e⁶ˣ+c₂e³ˣ
• y=c₁e⁻⁶ˣ+c₂eˣ
• y=c₁e⁻²ˣ+c₂e⁻³ˣ
Определенный интеграл ∫ (1 / √(x + 1))dx, x=0..2 равен …
• 2√3-2
• 2√3
• -2√2
Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=0..3 равен …
• 8/3
• 3/8
• 1/3
Определенный интеграл ∫ f(x)dx, x=2..2 равен …
Предел lim (x² − 2x) / (x² − 4), x⟶2 равен …
• 0.5
• 0.7
• 0
При перестановке двух строк матрицы ее определитель …
• меняет знак на противоположный
• не меняет знак
• в одних случаях меняет знак на противоположный, в других случаях – не меняет знак
Производная сложной функции y = √(x³ + 5x² – 3) имеет вид …
• (3x² + 10x) / 2√(x³ + 5x² – 3)
• (3x² − 10x) / √(x³ + 5x² – 3)
• −(2x − 3) / √(x² – 3x + 17)
Производная функции у=3х³+2x²-5x+7 имеет вид …
• 9x²+4x-5
• 21x²-4x+5
• -21x²-4x-5
Процесс нахождения первообразной для данной функции называют …
Пусть дан вектор a{−3, 7, 2}, тогда длина вектора 3a равна …
• √550
• √560
• √558
Пусть дана матрица A = ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1)), тогда квадрат определителя этой матрицы будет равен …
Пусть дана матрица A = ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1)), тогда сумма миноров M₂₂ + M₃₃ равна …
• -11
• -12
• -10
Пусть дана матрица A = ((12, −17), (−5, −9)), тогда ее определитель равен …
Пусть дана матрица A = ((2, 3), (1, −2)), тогда обратная матрица будет иметь вид …
• ((3, 2), (−2, 1))
• ((2/7, 3/7), (1/7, −2/7))
• ((2, 1), (3, −2))
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ - 2x₃ = 9, 3x₁ - 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ - 4x₃ = 11, тогда определитель |A| этой системы равен
• 16
• 17
• 18
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₁| этой системы равен
• 34
• 35
• 36
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₃| этой системы равен
• -32
• -33
• -34
Пусть дана система уравнений A = {3x – 4y + z = 0, 2x + y – 3z = –5, x – 2y + z = 0, тогда данная система …
• не имеет решений
• имеет 1 решение
• имеет 2 решения
Пусть даны векторы a{3, 4, 5} и b{6, 7, 8}, тогда сумма координат вектора a + b равна …
Пусть даны множества A={3,4,5} и B={7,6,5}, тогда единственный элемент множества A∩B равен …
Пусть даны множества A={3,4,5} и B={7,6,5}, тогда сумма всех элементов множества A∪B равна …
Пусть последовательность задана формулой xn=(-1)n, тогда разность первых трех ее членов равна …
Пусть уравнение плоскости задано точкой A(-2, 2, 8) и нормалью n(1, 2, 3), тогда коэффициент при переменной x в данном уравнении равен
Разность координат нормального вектора плоскости 3x-y+2z+2=0 равна …
Расположите выражения, известные для системы линейных уравнений {3x₁ + 2x₂ – x₃ = 2, x₁ – 3x₂ + 2x₃ = 3, 2x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 4 в порядке «основная матрица системы, расширенная матрица системы, матрица неизвестных, матрица правой части»:
1 ((3, 2, –1), (1, –3, 2), (2, 4, –2))
2 ((3, 2, –1, 2), (1, –3, 2, 3), (2, 4, –2, 4))
3 (x₁, x₂, x₃)
4 (2, 3, 4)
Расположите данные выражения для функции z(x;y)=3x³+7xy-5x+3y⁴ в последовательности «частная производная по x первого порядка, частная производная по x второго порядка, частная производная по y первого порядка»:
1 9x²+7y-5
2 18x
3 7x+12y³
Расположите действия нахождения обратной матрицы в логическом порядке:
1 найти определитель исходной матрицы
2 найти транспонированную матрицу к исходной
3 найти алгебраические дополнения
4 составить обратную матрицу
Расположите дифференциальные уравнения в последовательности «дифференциальное уравнение 1-го порядка, линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка»:
1 2x+ y'-y=0
2 y''+2y'+3y=0
3 y''+2y'+3y=x²
Расположите длины векторов a{1, 2, 3}, b{−1, 2, 4} и c{3, −4, 5} в порядке возрастания:
1 │a│
2 │b│
3 │c│
Расположите значения данных интегралов в порядке убывания:
1 ∫ 2x²dx, x=1..2
2 ∫ (x³ − x²)dx, x=0..2
3 ∫ dx / x, x=1..-e
Расположите значения производных для функций в порядке «y=sinx,y=cosx,y=lnx»:
• y' = cosx
• y' = −sinx
• y' = 1/x
Расположите матрицы в порядке «нижняя треугольная, квадратная, верхняя треугольная, неквадратная»:
1 ((3, 0, 0), (3, 3, 0), (3, 3, 3))
2 ((2, 2, 2), (2, 2, 2), (2, 2, 2))
3 ((2, 2, 2), (0, 2, 2,), (0, 0, 2))
4 ((1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1))
Расположите прямые y₁, y₂ и y₃, заданные уравнениями, в порядке убывания их угловых коэффициентов:
1 y₃ = -9
2 y₁ = -7x+1
3 y₂ = -8x+2
Расположите точки A(0,7,2), B(1,2,3) и C(-5,7,9) в порядке принадлежности плоскостям «x-y+1=0,4x-26y+33z-95=0, -17x+5y+18z-71-0»
1 B
2 C
3 A
Расположите числа в порядке принадлежности множествам «иррациональных чисел, рациональных чисел, целых чисел, натуральных чисел»:
1 √2
2 1/2
3 -2
4 2
Расстояние от точки A(2,1) до прямой 3x-4y-3=0 равно …
Расстояние от точки A(2,3,-1) до плоскости 2x-y+3z=2 равно …
• 4/√14
• 2/√14
• -4/√15
Результат вычисления интеграла ∫ x⁴dx, x=1..3 составляет
• 1/5
• 243
• 242/5
Решение уравнения y'=5x+2 имеет вид …
• 5x²/2 - 2x + C
• -5x²/2 - 2x + C
• 5x²/2 + 2x + C
Решением системы уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, будет …
• (2, 1, −2)
• (−2, 1, −2)
• (2, 1, 2)
Скалярное произведение векторов a{7, 8, 9}, b{−3, 4, −5} равно …
Сопоставьте матричные уравнения и их решения
A. A∙X=B
B. X∙A=B
C. A∙X∙C=B
D. X=A-1∙B
E. X=B∙A-1
F. X=A-1∙B∙C-1
Сумма координат вектора a = −3I + 2j + 5k равна …
Сумма координат нормального вектора плоскости 3x-2y+z-1=0 равна …
Сумма координат середины отрезка с концами в точках A(-3,-2,5) и A(5,2,-7) равна …
Сумма координат точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂ =3x-2 равна …
Сумма элементов второй строки матрицы, обратной к матрице A = ((2, 2, 1), (1, 3, 1), (1, 0, 0)) равна …
Точка x₀ называется точкой минимума функции y=f(x), если для всех точек x≠x₀ из некоторой окрестности точки x₀ выполняется …
• неравенство f(x)f(x₀)
• равенство f(x)=f(x₀)
Три вектора образуют базис в пространстве тогда и только тогда, когда эти векторы …
• не коллинеарны
• не компланарны
• компланарны
Упорядочьте дифференциальные уравнения от первого до третьего порядка:
1 y' +3 y=x²
2 y''=xy
3 y'''-3y'=0
Уравнение … является каноническим уравнением прямой
• 3x+2y-5=0
• (x – 2)/3 = (y + 1)/2
• {x = 3t + 1; y = t – 1
Уравнение y' +2y=4 при условии y(0)=5 имеет частное решение…
• y=3e⁻²ˣ+5
• y=3e⁻²ˣ+2
• y=3e⁻²ˣ
Уравнение вида y' +p(x)y=q(x)⋅уn называется уравнением …
• Бернулли
• Пифагора
• Коши
Уравнение прямой, проходящей через точки А(5,-6) и В(-7,0), имеет вид …
• y = -0,5x-3,5
• y = -0,5x+3,5
• y = 0,4x+2,2
Условием существования двух действительных корней характеристического уравнения дифференциального уравнения является то, что дискриминант характеристического уравнения …
• больше нуля
• равен нулю
• меньше нуля
Установите соответствие между взаимным расположением прямых y₁=k₁ x+b₁ и y₂=k₂ x+b₂ на плоскости и условием этого расположения:
A. Прямые параллельны
B. Прямые перпендикулярны
C. Прямые совпадают
D. k₁=k₂,b₁≠b₂
E. k₁∙k₂=-1
F. k₁=k₂,b₁=b₂
Установите соответствие между действиями над матрицами A = ((1, −7), (4, 9)) и B = ((8, −4), (−5, 0)) и результатами этих действий:
A. A+B
B. A-B
C. A⋅B
D. B⋅A
E. ((9, −11), (−1, 9))
F. ((−7, −3), (−5, 0))
G. ((−7, −3), (9, 9))
H. ((−8, −92), (−5, 35))
Установите соответствие между интегралом элементарной функции и его значением:
A. ∫ eˣ dx
B. ∫ cosx dx
C. ∫ dx / sin²x
D. eˣ+C
E. sinx+C
F. -ctgx+C
Установите соответствие между линейными операциями над векторами a{a₁, a₂, a₃} и b{b₁, b₂, b₃} и результатами этих операций:
A. a + b
B. b − a
C. kb
D. {a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃}
E. {b₁ − a₁, b₂ − a₂, b₃ − a₃}
F. {kb₁, kb₂, kb₃}
Установите соответствие между общим видом дифференциального уравнения и методом его решения:
A. f(y)dy=f(x)dx
B. f₁ (x)g(y)dx=f₂ (x)dy
C. P(x,y)dx=Q(x,y)dy
D. проинтегрировать обе части уравнения
E. разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения
F. применить подстановку y=ux,u=f(x)
Установите соответствие между операциями над матрицами и их характеристиками
A. Сложение матриц
B. Вычитание матриц
C. Умножение матрицы на число
D. сложение соответствующих элементов матриц
E. вычитание соответствующих элементов матриц
F. умножение всех элементов матрицы на число
Установите соответствие между понятием и соответствующей формулой:
A. Приращение функции в точке x₀
B. Дифференциал функции
C. Производная функции в точке x₀
D. Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀)
E. dy = f'(x)dx
F. f'(x₀) = lim Δy / Δx, Δx⟶0
Установите соответствие между правой частью нелинейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и его частным решением
A. f(x)=aemx, m≠k₁≠k₂
B. f(x)= aemx, m=k₁
C. f(x)=ax²+bx+c
D. ỹ = Aemx
E. ỹ = Axemx
F. ỹ = Ax² + Bx + C
Установите соответствие между свойствами пределов и их значениями:
A. lim c, x⟶x₀
B. lim (f(x) ⋅ g(x)), x⟶x₀
C. lim (f(x) − g(x)), x⟶x₀
D. 0
E. lim f(x), x⟶x₀ ⋅ lim g(x), x⟶x₀
F. lim f(x), x⟶x₀ − lim g(x), x⟶x₀
Установите соответствие между способом задания прямой в пространстве и ее уравнением:
A. Общее уравнение прямой
B. Точки M₁ (x₁, y₁, z₁ ) и M₂ (x₂, y₂, z₂ ) лежат на прямой
C. Известны напрявляющий вектор l(m, n, p) и точка M(x₀, y₀, z₀)
D. {A₁x + B₁y + C₁z = 0, A₂x + B₂y + C₂z = 0
E. (x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁) = (z − z₁) / (z₂ − z₁)
F. (x − x₀) / m = (y − y₀) / n = (z − z₀) / p
Установите соответствие между функцией двух переменных и ее частной производной по переменной x:
A. z=3x²+5x-2y
B. z=x²-x+1
C. z=2x³-3x
D. zx' =6x+5
E. zx' =2x-1
F. zx' =6x-3
Функция … является нечетной
• y=cosx
• y=x^6
• y=x^5
Функции y₁=y₁ (x) и y₂=y₂ (x) называются линейно … на (a,b), если равенство α₁y₁+α₂y₂+0 выполняется тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел α₁ или α₂ отлично от нуля
Функция нескольких переменных является дифференцируемой, если …
• существует полное приращение функции
• функция непрерывна по одному аргументу
• существует полный дифференциал функции
Функция f(x; y) = (2x - y²) / (x² + y²) является …
• однородной
• неоднородной
• условной
Функция k=3x+5y-2z+1 является функцией …
• одной переменной
• трех переменных
• четырех переменных
Функция у = f(x) называется … функцией на множестве D, если для любых x₁, x₂ ϵ D из неравенства x_1f(x_2)
Целой положительной степенью Am квадратной матрицы A называется … m матриц, равных A
Частная производная по переменной x функции z(x;y)=5x⁴ y² равна …
• 20x³y²
• 20x²y²
• 20x²y⁴
Частная производная ∂z(x; y)/∂y функции z(x; y) = y − 3x³ + 2 равна …
• 3
• 1
• 2
Числа x и y в разложении вектора a = xe₁ + ye₂ относительно осей e₁ и e₂ называются … вектора a
Число, равное наивысшему порядку минора матрицы, называется … матрицы
• рангом
• определителем
• базисом
...
ТЕСТ 5
Выборочное среднее вариационного ряда 1; 2; 3; 3; 7; 8 равно …
• 2
• 4
• 6
• 3
Дано статистическое распределение выборки.
Если объем выборки равен 11, то k равно …
• 2
• 3
• 4
• 5
Для того, чтобы по выборке можно было судить о случайной величине, выборка должна быть …
• бесповторной
• повторной
• безвозвратной
• репрезентативной
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n – 65, полигон частот которой имеет вид
Число вариант xi–4 в выборке равно …
• 14
• 15
• 13
• 12
Из генеральной совокупности извлечена следующая выборка: 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 6; 6; 6. Для варианты xi=4 относительная частота будет равна …
• 1
• 0,2
• 0,1
• 0,3
Ранжированный ряд вариантов с соответствующими им весами называют …
Совокупность всех возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины называется …
Стоимость различных учебных пособий по математике в книжном магазине составила 56; 83; 77; 86; 35; 123 и 83 рубля. Объем данной выборки равен …
• 4
• 5
• 6
• 7
Установите соответствие:
A. оценка, обладающая наименьшей дисперсией;
B. оценка, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру;
C. оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру;
D. оценка, построенная на основе выборочной совокупности.
E. состоятельная
F. эффективная
G. несмещенная
H. статистическая
ТЕСТ 6
Если увеличить уровень значимости статистического критерия, то размер критической области при этом:
• увеличится
• уменьшится
• не изменится
Когда при проверке гипотезы H0:μ = μ0 против H1:μ = μ1 следует выбирать правостороннюю критическую область:
• μ1 < μ0;
• μ1 > μ0;
• μ1 ≠ μ0;
• μ1 = μ0.
Нулевая гипотеза – это:
• выдвинутая гипотеза, которую нужно проверить;
• альтернативная гипотеза;
• гипотеза, определяющая закон распределения;
• гипотеза о равенстве нулю параметра распределения.
Нулевая гипотеза имеет вид H0: р=0,6, тогда конкурирующей гипотезой НЕ может являться…
• p≤0,6;
• p≠0,6;
• p0,6.
Нулевая гипотеза состоит в предположении, что параметр показательного распределения λ=5, то конкурирующая гипотеза состоит в предложении, что …
• λ≤5;
• λ≥5;
• λ≠5;
• λ≈5.
По выборке X1,…,X100 из распределения F(x,θ) требуется проверить гипотезу о том, что неизвестный параметр θ равен 5 против альтернативы о том, что значение параметра θ больше 5. Для проверки этой гипотезы применяется некоторый состоятельный критерий. Уровень значимости этого критерия равен 0,05. Функция мощности этого критерия в точке 6 может принимать значение:
• 0,05
• меньше, чем 0,05
• больше, чем 0,05
Правило, устанавливающее условия, при которых нулевую гипотезу следует либо принять, либо отвергнуть, называется …
Принцип, согласно которому выбирается критическая область, гласит…
• вероятность попадания в нее должна быть минимальной, если верна гипотеза H0 и максимальной в противном случае;
• вероятность попадания в нее должна быть минимальной, если верна гипотеза H1 и максимальной в противном случае;
• вероятность попадания в нее должна быть равна 0;
• вероятность попадания в нее должна быть максимальной, если верна гипотеза H0 и минимальной в противном случае.
Пусть α – вероятность отвергнуть верную гипотезу, γ – доверительная вероятность, то есть вероятность принять верную гипотезу. Если α=0,05, тогда …
• γ=0,45;
• γ=0,95;
• γ=0,85;
• γ=0,955.
Установите соответствие:
A. гипотеза H0 верна, но ее отвергают согласно критерию;
B. гипотеза H0 не верна, но ее принимают согласно критерию;
C. гипотеза H0 не верна и ее отвергают согласно критерию;
D. ошибка 1-го рода;
E. ошибка 2-го рода;
F. мощность критерия.
Установите соответствие:
A. границы левосторонней критической области при заданном уровне значимости α находят из соотношения…;
B. границы правосторонней критической области при заданном уровне значимости α находят из соотношения…;
C. границы двусторонней критической области при заданном уровне значимости α находят из соотношения…;
D. P(θ* < θкр) = α;
E. P(θ* > θкр) = α;
F. P(θ* > θкр.пр) = α/2; a) P(θ* < θкр.лев)
ТЕСТ 7
В отечественной статистике используются … статистического наблюдения
• две организационные формы (типа);
• три организационные формы (типа);
• пять организационных форм (типов);
• семь организационных форм (типов).
Верно, что атрибутивные ряды распределения построены по качественному признаку.
• верно
• неверно
Верно, что вариационные ряды распределения могут быть дискретными и интервальными.
• верно
• неверно
Значения изучаемых признаков, которые измеряются или фиксируются при проведении исследования у единиц в совокупности, называются …
К количественным признакам в статистике относят … признаки
• дискретные
• порядковые
• альтернативные
• атрибутивные
Количество объектов в каждой группе называют …
На третьем этапе статистического исследования проводится …
• расчет и интерпретация обобщающих статистических показателей;
• наблюдение (сбор первичных данных);
• предварительная обработка и группировка данных;
• моделирование взаимосвязей между социально экономическими процессами и явлениями.
Общее число единиц, образующих статистическую совокупность, называется объемом …
Простой способ группировки образуется …
• только по одному признаку;
• по одному или трем признакам;
• не более чем по пяти признакам;
• не менее чем по четырем признакам.
Статистическое исследование состоит из … основных этапов
• двух
• четырех
• шести
• семи
Установите последовательность основных этапов статистического исследования:
1 наблюдение (сбор первичных данных);
2 предварительная обработка и группировка данных;
3 расчет и интерпретация обобщающих статистических показателей.
4 моделирование взаимосвязей между социально экономическими процессами и явлениями;
ТЕСТ 8
… – это схематическая географическая карта, на которой средствами изображения показывается сравнительная интенсивность изучаемого показателя в пределах каждой единицы нанесенного на карту территориального деления
… графика – это словесное описание содержания графика, включающее в себя общий заголовок графика, подписи вдоль масштабных шкал и пояснения к отдельным частям графика
… называется таблица, в подлежащем которой дается перечень каких-либо объектов или территориальных единиц
Изображение статистических данных в виде различных геометрических образов: точек, линий, фигур и т.п. в статистике называется …
• графиком
• схемой
• макетом
• диаграммой
Остов таблицы, заполненный заголовками, образует … таблицы
• структуру
• форму
• макет
По структуре подлежащего различают статистические таблицы на …
• простые и сложные;
• объемные, линейные и плоскостные;
• диаграммы и статистические карты.
При заполнении таблицы, если явление отсутствует полностью, то ставится
• тире «–»;
• многоточие «…» или «нет свед.»;
• знак «X».
Согласно правилам расположения заголовков графика, если график представляется отдельно от текста, например, в приложении, то заголовок …
• помещается под изображением графика;
• указывается вверху графика более крупным шрифтом, чем все остальные надписи на график;
• может указываться как вверху графика, так и под изображением графика.
Содержание строк таблицы характеризуют … заголовки
• боковые
• общий и верхние
• верхние
Статистическая таблица содержит … заголовков
• два вида;
• три вида;
• пять видов;
• шесть видов.
Таблицу, которая содержит сводную числовую характеристику исследуемой совокупности по одному или нескольким существенным признакам, называют …
ТЕСТ 9
… показатель интенсивности (ОПИ) характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления и представляет собой отношение исследуемого показателя к размеру присущей ему среды
… статистические показатели характеризуют размеры социально-экономических явлений и процессов
Относительные показатели могут выражаться в …
• коэффициентах (долях единицы);
• натуральных единицах измерения;
• процентах (%), промилле (%0) и продецимилле ();
• стоимостных и трудовых единицах измерения.
Относительный показатель плана (ОПП) * относительный показатель реализации плана (ОПРП) = …
• относительный показатель динамики (ОПД);
• относительный показатель интенсивности и уровня экономического развития (ОПИ);
• относительный показатель сравнения (ОПСр).
При расчете показателей вариации применяется средняя …
• гармоническая
• квадратическая
• геометрическая
• арифметическая
Результат сопротивления разноименных статистических показателей выражается в относительных величинах …
• интенсивности величины;
• наглядности;
• динамики.
Средняя … взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель
• гармоническая
• квадратическая
• геометрическая
• арифметическая
Средняя гармоническая взвешенная используется, когда …
• известен числитель исходного соотношения средней и его знаменатель;
• известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель;
• известен знаменатель исходного соотношения средней, но неизвестен его числитель.
Структурная средняя, которая определяет значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, – это …
Структурная средняя, которая представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой, – это …
Установите соответствие:
A. средняя арифметическая;
B. средняя геометрическая;
C. средняя квадратическая;
D. x = Σxifi / Σfi
E. x = k√Пxi
F. x = √(Σxi²fi / Σfi)
ТЕСТ 10
… – это разница между значением отдельного варианта признака и значением средней величины
• дисперсия;
• стандартное отклонение;
• отклонение от средней;
• размах вариации.
… рассчитывается как разность между максимальным и минимальным значениями признака в рассматриваемом числовом ряду.
• дисперсия;
• стандартное отклонение;
• отклонение от средней;
• размах вариации.
Вариацию признака по всей совокупности как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности характеризует … дисперсия.
Дисперсия отклонений значений признака от произвольного числа A, неравного средней величине, …
• уменьшает дисперсию отклонений от средней на число, равное возведенной в квадрат разнице между средним и этим числом;
• не влияет на величину дисперсии отклонений;
• увеличивает дисперсию отклонений от средней на число, равное возведенной в квадрат разнице между средним и этим числом.
Если все варианты признака одинаковы, то вариация …
• равна одному;
• может принимать значения от - 1 до 1;
• равна нулю.
Совокупность считается однородной, если коэффициент …
• не превышает 33 %;
• превышает 50 %;
• равен 20%.
Степень различия между отдельными значениями признака или показателя называется …
Сумма отклонений …
• всегда равна нулю;
• может быть любой
• всегда равна одному
• может принимать значения от 0 до 1
Увеличение или уменьшение каждого значения признака на фиксированное число …
• не изменяет значения дисперсии и среднего квадратного отклонения, но изменяет значение размаха;
• не изменяет значений размаха, дисперсии и среднего квадратического отклонения;
• всегда изменяет значения размаха, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
Установите соответствие значения признака и его результат при умножении на фиксированное число к размах:
A. среднее квадратическое отклонение;
B. дисперсия;
C. коэффициент вариации;
D. увеличивается в k раз;
E. увеличивается в k² раз.
F. остается неизменным;
ТЕСТ 11
Значение коэффициента детерминации рассчитывается как отношение дисперсии результативного признака, объясненной регрессией, к … дисперсии результативного признака.
Имеется матрица парных коэффициентов корреляции:
Какой фактор НЕ следует включать в модель множественной регрессии?
• x₁
• x₂
• x₃
• y
Имеется матрица парных коэффициентов корреляции:
Между какими факторами наблюдается коллинеарность:
• y и x₃
• x₁ и x₃
• x₂ и x₃
• y и x₁
Какое значение не может принимать парный коэффициент корреляции:
• 0,973;
• 0,005;
• 1,111;
• 0,721.
Логарифмическое преобразование позволяет осуществить переход от нелинейной модели y = 5x²u к модели:
• ln y = ln 5 + 2 ln x + ln u;
• y = ln y + 5 +2ln x;
• y = ln 5 + 2 lnx + ln u;
• ln y = 5 + 2x + u.
При верификации модели регрессии получены следующие результаты:
Укажите верные выводы.
• построенное уравнение регрессии объясняет 87% вариации зависимой переменной;
• средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели;
• Расчетное значение критерия Фишера превышает соответствующее табличное (критическое) значение. Найденное уравнение регрессии статистически надежно.
• Регрессия установила наличие тесной обратной связи между признаками х и у.
При построении модели множественной регрессии предварительно проводят исследование факторных переменных на коллинеарность и мультиколлинеарность. Считается, что две переменные явно коллинеарны, если соответствующий парный коэффициент корреляции удовлетворяет условию:
• rxy≥0,5;
• rxy≥1;
• rxy≥0,3;
• rxy≥0,7.
Расположите в правильной последовательности этапы проведения корреляционно-регрессионного анализа.
1 Разделение признаков на факторные и результативные. Выбор наиболее существенных признаков для их дальнейшего исследования и включения в корреляционную модель.
2 Предварительная оценка формы уравнения регрессии.
3 Вычисление коэффициентов регрессии и их смысловая интерпретация
4 Расчет теоретически ожидаемых (рассчитанных по уравнению регрессии) значений результативного признака.
5 Определение и сравнительный анализ дисперсий: общей, факторной и остаточной. Оценка тесноты связи между признаками, включенными в регрессионную модель.
6 Общая оценка качества модели, отсев несущественных (или включение дополнительных факторов).
Уравнение множественной регрессии имеет вид: yx = –27,16 + 1,37x₁ – 0,29x₂. Параметр, равный 1,37, означает следующее:
• при увеличении x₁ на одну единицу своего измерения, переменная y увеличится на 1,37 единиц своего измерения;
• при увеличении x₁ на одну единицу своего измерения при фиксированном значении фактора x₂ переменная y увеличится на 1,37 единиц своего измерения;
• при увеличении x₁ на 1,37 единиц своего измерения при фиксированном значении фактора x₂ переменная y увеличится на одну единицу своего измерения.
Уравнению регрессии yx = 2,88-0,72x₁-1,51x₂ соответствует множественный коэффициент корреляции Ry=0,84. Укажите, какая доля вариации результативного показателя y (в %) объясняется входящими в уравнение регрессии переменными x₁ и x₂:
• 70,6;
• 16,0;
• 84,0;
• 29,4.
ТЕСТ 12
Автокорреляцией уровней временного ряда называют:
• корреляционную зависимость между трендовой и сезонной компонентами временного ряда;
• корреляционную зависимость между наблюдаемыми и расчетными значениями исследуемого временного показателя;
• корреляционную зависимость между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на один или несколько периодов времени;
• автокорреляцию остатков временного ряда.
В 2010г. объем производства продукции составил 123% к уровню 2002г. Среднегодовой темп роста объема продукции составил в %:
• 103,0;
• 102,6;
• 104,9;
• 105,1.
Выберите набор(ы) наблюдений, являющиеся временным рядом:
• цены на мороженое в 100 киосках Москвы на 1 января 2023 года;
• ежедневный курс евро на ММВБ в течение 2022 года;
• последовательность из значений веса людей, упорядоченная по их росту;
• кардиограмма пациента.
Гипотеза об аддитивной структурной схеме взаимодействия факторов, формирующих уровни временного ряда, означает правомерность следующего представления:
• Tₜ = yₜ + Sₜ + Cₜ + Eₜ
• yₜ = Tₜ ⋅ Sₜ ⋅ Cₜ + Eₜ
• Eₜ = yₜ + Tₜ + Sₜ + Cₜ
• yₜ = Tₜ + Sₜ + Cₜ + Eₜ
Гипотеза об мультипликативной структурной схеме взаимодействия факторов, формирующих уровни временного ряда, означает правомерность следующего представления:
• Tₜ = yₜ · Sₜ · Cₜ · Eₜ
• yₜ = Tₜ · Sₜ · Cₜ + Eₜ
• Eₜ = yₜ · Tₜ · Sₜ · Cₜ
• yₜ = Tₜ · Sₜ · Cₜ · Eₜ
Найдите соответствие между показателем динамики и соответствующей ему формулой:
A. коэффициент роста
B. темп прироста
C. средний абсолютный прирост
D. средний темп роста
E. Кц = yⱼ / yⱼ₋₁;
F. Тпц = Δц / yⱼ₋₁ ⋅ 100%;
G. Δ̅ = (yₙ − y₁) / (n − 1);
H. T̅ = K̅ ⋅ 100%.
Остаток товаров на складе составил (млн. руб.): на 01.04 – 20, на 01.05 – 24, на 01.06 – 30, на 01.07 – 36. Средний остаток товаров за II квартал составил (млн. руб.):
• 27,3;
• 27,5;
• 28,1;
• 27,5.
Последовательность моментов (периодов) времени и соответствующих им значений экономического показателя называется …
Построена мультипликативная модель временного ряда с линейным трендом и сезонными колебаниями в 4 года. Сделать прогноз для 9 года от начала наблюдений.
Расставьте в правильной последовательности алгоритм получения оценок сезонной составляющей ряда динамики:
1 Сглаживание исходного временного ряда с помощью процедуры скользящей средней при четной длине интервала сглаживания;
2 Вычисление уровней временного ряда xt, представляющих собой отношения/разности фактических уровней yt и сглаженных значений y't
3 Определение предварительных значений сезонной компоненты усреднением значений уровней xt для одноименных месяцев (кварталов).
4 Нахождение оценок сезонной составляющей после проведения корректировки предварительных значений с учетом характера сезонности;
Трендовая составляющая временного ряда характеризует:
• периодические изменения уровней ряда;
• основную тенденцию уровней ряда;
• качество построенной модели временного ряда;
• структуру временного ряда.
ТЕСТ 13
… форма индекса позволяет найти для разнородной совокупности такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы.
В тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или пространстве две совокупности, элементы которых непосредственно суммировать нельзя, используют …
• индекс переменного состава
• сводный индекс
• динамический индекс
• индивидуальный индекс
Если анализируется изменение показателя по всей совокупности, к примеру, по автомобилям всех марок или всем моделям ноутбуков, то получают – …
• сводный индекс
• индекс переменного состава
• динамический индекс
Индивидуальные индексы представляют собой относительные показатели динамики или темп роста и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться …
• только в цепной форме
• только в базисной форме
• только в агрегатной форме
• как в цепной, так и в базисной формах
Можно ли утверждать, что индивидуальные индексы по методологии исчисления адекватны темпам роста:
• можно
• нельзя
Обобщить показатели по нескольким позициям (товарам, видам продукции) позволяют … индексы
• сводные
• индивидуальные
• динамические
Показатель, который характеризует относительное изменение уровня исследуемого явления в рассматриваемом временном периоде (текущем (отчетном) периоде) по сравнению с другим его уровнем, принятым за базу сравнения (базисным периодом), – это …
Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является … индекс, который характеризует изменение во времени экономических величин, относящихся к одному объекту
Умножив индекс фиксированного состава на индекс структурных сдвигов можно получить …
• свободный индекс
• индекс переменного состава
• индивидуальный индекс
• динамический индекс
Установите соответствие общепринятого обозначения индекса и его обозначения:
A. i
B. I
C. p
D. q
E. Z
F. l
G. О
H. индивидуальный индекс
I. сводный индекс
J. цена
K. количество
L. себестоимость единицы продукции
M. текущий период
N. базисный период
Установите соответствие понятия и его определения:
A. Система индексов
B. Система цепных индексов
C. Система базисных индексов
D. ряд последовательно построенных индексов
E. ряд индексов одного и того же явления, вычисленных с меняющейся от индекса к индексу базой сравнения
F. ряд последовательно вычисленных индексов одного и того же явления с постоянной базой сравнения
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ
В зависимости от задач исследования статистические группировки подразделяют на …
• простые комбинационные и групповые
• первичные и вторичные
• типологические, структурные и аналитические
• вторичные, социально-экономические и структурные
В некотором регионе А. произошло 632 дорожно-транспортных происшествий (ДТП, из них 142 ДТП произошли по вине женщин-водителей. Известно, что 30 % водителей в регионе А – женщины. Пусть р – доля женщин-нарушителей. Можно ли считать, опираясь на приведенные данные, что женщины являются более аккуратными водителями чем мужчины. Сформулируйте основную (проверяемую) гипотезу Н0 в этой задаче.
• H₀:р0,3;
• H₀:р≠0,3.
В числе требований, предъявляемых к составлению и оформлению таблиц, – … (укажите 4 варианта ответа)
• подробное название
• краткость материала
• нумерация граф
• использование условных обозначений
• обязательное наличие числовых характеристик в колонках таблицы
• наглядность изложения
Взвешенные средние используются в тех случаях, когда …
• частоты всех вариантов признака равны
• все варианты значений признака повторяются одинаковое количество раз
• данные представлены как отдельные значения признака
• данные сгруппированы
Временным рядом является такой набор наблюдений, как …
• цены на мороженое в 100 киосках Москвы на 1 января 2023 г.
• ежедневный курс евро на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ в течение 2022 г.
• последовательность из значений веса людей, упорядоченная по их росту
• кардиограмма пациента
Все возможные значения критерия, при которых есть основание принять альтернативную гипотезу, называются … областью.
Гипотеза об мультипликативной структурной схеме взаимодействия факторов, формирующих уровни временного ряда, означает правомерность следующего представления:
• Tₜ = yₜ · Sₜ · Cₜ · Eₜ
• yₜ = Tₜ · Sₜ · Cₜ + Eₜ
• Eₜ = yₜ · Tₜ · Sₜ · Cₜ
• yₜ = Tₜ · Sₜ · Cₜ · Eₜ
Графическое изображение реальных статистических данных в виде точек в декартовой системе координат называется полем …, или диаграммой рассеяния
Данные об организациях, созданных на территории РФ, их местных единицах, индивидуальных предпринимателях, других типах статистических единиц, являющихся объектами федерального статистического наблюдения, отражаются Росстатом в …
• статистическом регистре хозяйствующих субъектов
• статистических публикациях
• статистических отчетах
• переписи населения
Для того чтобы по выборке можно было судить о случайной величине, выборка должна быть …
• бесповторной
• повторной
• безвозвратной
• репрезентативной
Для того чтобы сравнить два параметрических критерия, проверяющих гипотезу Н0 против альтернативы Н1, достаточно знать …
• распределение статистик этих критериев при справедливости Н0
• распределение статистик при справедливости Н1
• уровень значимости
• доверительный интервал
Если активные потребители составляют 10,0 % рынка и тратят в среднем 600 руб. на покупку вашей продукции, пассивные потребители составляют 40,0 % рынка и тратят 400 руб., остальные потребители в среднем тратят 500 руб., то средний объем трат для всех потребителей равен …
• (600 + 400 + 500) / 3 = 500 руб.
• (600 ⋅ 0,1 + 400 ⋅ 0,4 + 500 ⋅ 0,5) / (0,1 + 0,4 + 0,5) = 470 руб.
• 600 ⋅ 0,1 + 400 ⋅ 0,4 + 500 = 720 руб.
Если в 2018 г. заработная плата была равна 27 900 руб., а в 2019 г. – 30 180 руб., тогда индивидуальный индекс заработной платы равен …
• 2280
• 1,08
• 108
• -2280
Если в совокупности единиц среднее квадратическое отклонение признака составило 7, а средняя величина этого признака равняется 21, то совокупность единиц по вариации данного признака является … совокупностью
Если имеются следующие данные о выпуске предприятиями 1–3 однородной продукции (см. таблицу ниже), то можно определить, что индивидуальные индексы себестоимости продукции составили: …
• для предприятия 1 = 80 / 84 * 100 % =95,24 %,
для предприятия 2 = 62 / 66 * 100 % = 93,94 %,
для предприятия 3 = 53 / 55 * 100 % = 106 %.
• для предприятия 1 = 84 / 80 * 100 % = 105 %,
для предприятия 2 = 66 / 62 * 100 % = 106,5 %,
для предприятия 3 = 55 / 53 * 100 % = 103,8 %.
• для предприятия 1 = 30 / 35 * 100 % = 85,7 %,
для предприятия 2 = 50 / 55 * 100 % = 90,9 %,
для предприятия 3 = 70 / 60 * 100 % = 116,7 %.
Если монету подбросили 600 раз, «орел» при этом появился 325 раз и требуется проверить, опираясь на эти данные, что монета является симметричной, пусть р – вероятность выпадения «орла». Сформулируйте то основную (проверяемую) гипотезу Н0 в этой задаче можно записать так: … (где р – вероятность выпадения «орла»)
• H₀:р0,5
• H₀:р≠0,5
Если рассчитанное значение коэффициента корреляции объема потребления мороженного и его цены в долларах равно -0,3, тогда, если использовать цену в рублях (курс рубля к доллару считать приблизительно равным 60 : 1), значение данного коэффициента будет равно …
• -3
• -0,3
• 0,2
• -18
Если среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников в РФ в 2016 г. составляла 23 369,2 руб., то с точки зрения статистической категории в данном примере показателем …
• является среднемесячная номинальная начисленная заработная плата
• является Российская Федерация
• являются 23 369,2 руб.
Если средний размер реализованной торговой фирмой спортивной обуви равен 39, мода составляет 39 и медиана также 39, то на основе полученных результатов можно сделать вывод, что распределение проданной спортивной обуви по размеру является … распределением
Значение индекса затрат на производство зависит от … (укажите 2 варианта ответа)
• изменения количества продукции
• изменения цен на продукцию
• себестоимости продукции
• затрат рабочего времени на производство продукции
Изменение цен группы различных товаров характеризует … индекс цен
Индекс, представленный относительной величиной и характеризующий динамику двух средних показателей, – это индекс …
• с постоянными весами
• переменного состава
• фиксированного состава
• с переменными весами
Исправленная выборочная дисперсия s² случайной величины Х обладает следующим свойством: она является … случайной величины Х
• смещенной оценкой дисперсии
• несмещенной оценкой дисперсии
• смещенной оценкой среднеквадратического отклонения
• несмещенной оценкой среднеквадратического отклонения
Исходя из представленного в таблице ниже распределения количества киосков по средней дневной выручки, можно определить, что модальный интервал составляет …
• 128–132
• 132–136
• 136–140
• 140–144
Когда с помощью подходящих преобразований исходных переменных регрессионная зависимость представляется в виде линейного соотношения между преобразованными переменными, этот процесс называется … модели
Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi,ni), где xi – значения вариационного ряда, ni – частота, называется …
• гистограммой
• эмпирической функцией распределения
• полигоном
• кумулятой
Любая функция от выборки – это …
Медианой распределения является …
• значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности
• значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой
• разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака
• типическое распределение признака в совокупности
Мощность критерия – это вероятность …
• не допустить ошибку второго рода
• допустить ошибку второго рода
• отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна
• отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна
На основании значения R² можно …
• оценить прогнозную силу модели
• рассчитать площадь диаграммы рассеяния
• оценить значимость коэффициентов регрессии
• оценить качество составления выборки
На практике совокупность признается однородной, если коэффициент вариации меньше или равен … %
Найдите соответствие между видом показателя вариации и его практическим использованием:
A. Коэффициент вариации
B. Межгрупповая дисперсия
C. Эмпирический коэффициент детерминации
D. Среднее квадратическое отклонение
E. характеризует степень однородности статистической совокупности и дает относительную оценку вариации
F. отражает ту часть общей вариации, которая обусловлена действием учтенного фактора, положенного в основание группировки
G. показывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную фактором, положенным в основание группировки
H. показывает, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения
Найдите соответствие между видом показателя динамики и его практическим применением:
A. Абсолютный прирост
B. Средний темп роста
C. Темп прироста
D. Темп роста
E. характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени
F. характеризует, сколько в среднем процентов последующий уровень составляет от предыдущего в течение всего периода наблюдения
G. показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения
H. показывает, сколько процентов составляет величина показателя в текущем периоде по сравнению с его величиной в предшествующем или базисном периоде
Найдите соответствие между названием формулы и ее видом:
A. Критерий Фишера
B. Критерий Стьюдента
C. Коэффициент детерминации
D. Коэффициент остаточной дисперсии
E. F = ∑(ŷ − y̅)² / ∑(y − ŷ)² ⋅ (n − m − 1)
F. tbi = bi / sbi
G. R² = 1 − ∑(y − ŷ)² / ∑(y − y̅)²
H. D = 1/n ⋅ ∑(Y − Ŷ)²
Найдите соответствие между понятием и его содержанием:
A. Статистическая таблица
B. Секторная диаграмма
C. Столбиковая диаграмма
D. Шкала измерения
E. форма наглядного и рационального изложения результатов сводной обработки материалов статистического наблюдения
F. графическое средство вывода, предназначенное для дискретных переменных, имеющих только несколько категорий
G. графическое средство вывода дискретных переменных, где категории представляются столбцами одинаковой ширины, высота каждого из которых соответствует количеству наблюдений в данной категории
H. математическая характеристика переменной, определяемая процессом измерения
Найдите соответствие между примерами и переменными, которые в них используются:
A. Число преступлений в течение года в Москве за 2000–2020 гг.
B. Величина прожиточного минимума (в среднем на душу населения), установленная в некоторых субъектах РФ за 3 квартал 2020 г.
C. Сводки ГИБДД по количеству дорожно-транспортных происшествий, произошедших в крупнейших российских городах за день, с учетом их вида, с 1 по 30 сентября 2020 г.
D. Температура воздуха в Москве, измеренная в 8 утра ежедневно в течение сентября 2020 г.
E. интервальный временной ряд
F. пространственные данные
G. пространственно-временные данные
H. моментный временной ряд
Найдите соответствие между экономическим индексом и тем, что он показывает:
A. Индекс физического объема
B. Индекс стоимости продукции
C. Индекс себестоимости продукции
D. Индекс издержек производства
E. показывает, во сколько раз изменилась стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения физического объема ее производства
F. показывает, во сколько раз изменилась стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения цен на товары и объемов их производства или реализации
G. показывает, во сколько раз изменились издержки производства продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения себестоимости продукции
H. показывает, во сколько раз изменились издержки производства продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения себестоимости продукции и объема ее производства
Объектом статистики является …
• статистическая совокупность
• количественная сторона массовых социально-экономических явлений и процессов
• взаимосвязь между социально-экономическими явлениями посредством статистических показателей
Определите правильный порядок вычисления дисперсии в интервальном ряду распределения:
1 определяют среднюю арифметическую взвешенную
2 рассчитывают отклонения вариантов от средней и их квадрат
3 умножают квадраты отклонений на статистический вес признака
4 суммируют полученные произведения и делят на сумму весов
Определите правильный порядок вычисления коэффициента корреляции:
1 вычислить средние арифметические значения для факторного и результативного признаков
2 рассчитать отклонения каждого значения х и у от средней величины
3 возвести полученные отклонения в квадрат
4 определить произведение разности
5 определить сумму квадратов отклонений
6 подставить полученные значения в формулу и рассчитать коэффициент корреляции
Определите правильный порядок вычисления линейного коэффициента вариации:
1 определяют средние значения факторного и результативного признаков
2 находят среднюю из суммы произведений факторного на результативный признак
3 вычисляют отдельно квадрат значений факторного и результативного признаков и их сумму
4 подсчитывают дисперсию факторного признака и дисперсию результативного признака
Определите правильный порядок построения статистического графика:
1 выбор графического образа
2 определение масштабных ориентиров
3 изображение графических образов на поле графика
4 указание экспликации графика
Относительная величины выполнения плана рассчитывается как отношение фактически достигнутого уровня к … заданию за тот же период
Переменная «число дождливых дней в октябре» относится к типу «количественная … переменная»
Переменные «рост, вес, давление крови и другие измеряемые физиологические показатели человека» относятся к типу «… переменные»
• категориальные номинальные
• категориальные порядковые
• количественные дискретные
• количественные непрерывные
По охвату единиц совокупности различают …
• непосредственное наблюдение, документальное наблюдение и опрос
• непрерывное, единовременное и периодическое наблюдение
• сплошное и несплошное наблюдение
• выборочное наблюдение, монографическое наблюдение и наблюдение основного массива
Показатель «Курс рубля по отношению к доллару» является примером относительного показателя …
Показатель «отношение затрат на оплату труда топ-менеджеров предприятия к объему затрат на основной персонал предприятия» является примером относительного показателя …
Показатель вариации, который характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней величины, – это … отклонение
Последовательность моментов (периодов) времени и соответствующих им значений экономического показателя называется … рядом, или рядом динамики
Предположение относительно параметров или вида закона распределения генеральной совокупности называют…
При проверке статистической гипотезы ошибка первого рода – это …
• принятие нулевой гипотезы, которая в действительности является неверной
• отклонение альтернативной гипотезы, которая в действительности является верной
• принятие альтернативной гипотезы, которая в действительности является неверной
• отклонение нулевой гипотезы, которая в действительности является верной
При сравнении всех уровней ряда динамики с первым уровнем, рассчитанные показатели называют …
Признаки, изменяющиеся под воздействием других, связанных с ними признаков, называются …
Простые таблицы бывают перечневыми (подлежащее - перечень единиц, составляющих объект изучения), территориальными (дается перечень территорий, стран, областей и т.д.) и … (подлежащее - периоды или даты)
Пусть в 2010 г. объем производства продукции составил 123 % к уровню 2002 г., сезонной составляющей, тогда среднегодовой темп роста объема продукции составил …
• 103,0 %
• 102,6 %
• 104,9 %
• 105,1 %
Пусть остаток товаров на складе составил: на 01.04 – 20 млн руб., на 01.05 – 24 млн руб., на 01.06 – 30 млн руб., на 01.07 – 36 млн руб., тогда средний остаток товаров за II квартал составил …
• 27,3 млн руб.
• 27,5 млн руб.
• 28,1 млн руб.
• 27,5 млн руб.
Размах варьирования вариационного ряда -4; -2; 0; 2; 2; 3; 4; 6; 6; 7; 9 равен …
Расположите в правильной последовательности шаги алгоритма получения оценок сезонной составляющей ряда динамики:
1 сглаживание исходного временного ряда с помощью процедуры скользящей средней при четной длине интервала сглаживания
2 вычисление уровней временного ряда xₜ, представляющих собой отношения/разности фактических уровней yₜ и сглаженных значений y’ₜ
3 определение предварительных значений сезонной компоненты усреднением значений уровней xₜ для одноименных месяцев (кварталов)
4 нахождение оценок сезонной составляющей после проведения корректировки предварительных значений с учетом характера сезонности
Рассмотрите две ситуации и выберите правильный ответ:
А) Дан вариационный ряд выборки объема n=10: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда равна 4.
В) Дан вариационный ряд выборки объема n=8: –2, 0, 1, 3, 4, 4, 5, 8. Выборочная медиана для этого ряда равна 3.
• А – да, В – да;
• В – нет, В – нет;
• В – нет, В – да;
• А – да, В – нет.
Сводный индекс оценивает …
• изменение социально-экономического явления за ряд последовательно рассмотренных периодов
• изменение социально-экономического явления, состоящего из одной товарной позиции
• среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов
Соотношение простых единичных показателей отражают …
• общие индексы
• субиндексы
• индивидуальные индексы
• агрегатные индексы
Средние индексы рассчитываются по … средней величины
• только по гармонической формуле
• только по структурной формуле
• только по арифметической формуле
• по арифметической и гармонической формулам
Статистическая совокупность, все единицы которой близки друг к другу по значениям выбранных для исследования признаков, в статистике называется …
• симметричной
• однородной
• одноразмерной
• аномальной
Статистическим показателем является показатель «…»
• 146,6 млн чел.
• 146,6 млн чел. – численность на начало мая 2020 г.
• 146,6 млн чел. – численность зарегистрированных на начало мая 2020 г.
• 146,6 млн чел. – численность населения РФ на начало мая 2020 г.
Структура распределения текущих затрат населения на различные виды товаров и услуг в некоторых странах мира (см. рисунок ниже) является примером диаграммы удельных …
Трендовая составляющая временного ряда характеризует … ряда
• периодические изменения уровней
• основную тенденцию уровней
• качество построенной модели временного
• структуру временного
Уровень безработицы в Москве и Краснодаре за первые десять месяцев 2020 г. (см. рисунок ниже) представлен в виде … диаграммы
Установите в правильном порядке этапы проведения компонентного анализа временного ряда:
1 выбор функциональной зависимости между компонентами
2 проверка наличия основной тенденции
3 формирование тренда
4 проверка наличия сезонности
5 моделирование сезонности
Установите правильную последовательность основных этапов статистического исследования:
1 наблюдение (сбор первичных данных)
2 предварительная обработка и группировка данных
3 расчет и интерпретация обобщающих статистических показателей
4 моделирование взаимосвязей между социально экономическими процессами и явлениями
Установите правильную последовательность этапов построения статистических группировок:
1 выбор группировочного признака
2 определение числа групп
3 определение границ интервалов группировки
4 расчет конкретных показателей, характеризующих выделенные группы
Установите соответствие …………. и ………….:
A. Гипотеза Н₀ верна, но ее отвергают согласно критерию
B. Гипотеза Н₀ неверна, но ее принимают согласно критерию
C. Гипотеза Н₀ неверна и ее отвергают согласно критерию
D. ошибка 1-го рода
E. ошибка 2-го рода
F. мощность критерия
Установите соответствие вида оценки и ее математического выражения
A. Оценка несмещенная
B. Оценка смещенная
C. Оценка эффективная
D. Оценка состоятельная
E. M(θ*) = θ
F. M(θ*) ≠ θ
G. D(θ*) = min
H. θ* ⟶ θ.
Установите соответствие границ соответствующей критической области и соотношения, из которого их находят:
A. Границы левосторонней критической области при заданном уровне значимости α
B. Границы правосторонней критической области при заданном уровне значимости α
C. Границы двусторонней критической области при заданном уровне значимости α
D. их находят из соотношения Р(θ*θкр )=α
F. их находят из соотношения Р(θ*>θкр.пр):
Установите соответствие между видом средней и ее практическим использованием:
A. Средняя гармоническая
B. Средняя квадратическая
C. Средняя геометрическая
D. Средняя арифметическая
E. применяется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины
F. применяется при изучении вариации признака
G. применяется для анализа явлений в динамике
H. является универсальной обобщающей количественной характеристикой варьирующего признака в совокупности
Установите соответствие между значением коэффициента корреляции и характером связи:
A. rxy=0,3
B. rxy=1
C. rxy=-0,82
D. rxy=-0,56
E. прямая, очень слабая зависимость
F. функциональная зависимость
G. обратная, сильная зависимость
H. обратная, умеренная зависимость
Установите соответствие между значением коэффициента линейной корреляции и соответствующей этому значению характеристикой:
A. -0,4
B. 0,8
C. 0,01
D. обратная связь между признаками
E. связь между признаками тесная
F. на зависимый признак не влияют включенные в уравнение факторы
Установите соответствие между показателем динамики и соответствующей ему формулой:
A. Коэффициент роста
B. Темп прироста
C. Средний абсолютный прирост
D. Средний темп роста
E. Кц = yⱼ / yⱼ₋₁;
F. Тпц = Δц / yⱼ₋₁ ⋅ 100%;
G. Δ̅ = (yₙ − y₁) / (n − 1);
H. T̅ = K̅ ⋅ 100%.
Установите соответствие между понятием и его содержанием:
A. Выборка
B. Данные
C. Генеральная совокупность
D. Гипотеза
E. тщательным образом отобранное подмножество объектов генеральной совокупности
F. любая информация, собранная как часть исследовательского проекта и выраженная в виде цифр
G. все множество объектов, в котором заинтересован исследователь
H. утверждение, касающееся связи между переменными, полученное на основе теории
Установите соответствие моды медианы и выборочного среднего для вариационного ряда -3; -1; 0; 1; 1; 2; 3; 4; 4; 4:
A. Мода
B. Медиана
C. Выборочное среднее
D. 4
E. 1
F. 1,5
Форма наблюдения, возобновляемого через равные промежутки времени, которое охватывает все без исключения зарегистрированные хозяйствующие субъекты и проводится на основе специально разрабатываемых формуляров в соответствии с видами деятельности этих субъектов, - это …
• перепись
• специально организованное наблюдение
• отчетность
• регистры
Характеристикой оценки качества нелинейной модели регрессии являются индексы …
• корреляции
• регрессии
• детерминации
• мультиколлинеарности
Число объектов в совокупности (выборочной или генеральной) – это … совокупности
КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ТЕСТ
Были исследованы 200 готовых деталей на отклонения истинного размера от расчетного. Сгруппированные данные приведены в следующей таблице:
Чему равно расчетное значение критерия согласия Пирсона при проверке гипотезы о нормальном законе распределения? (Уровень значимости α = 0,05).
• 3,65
• 4,42
• 7,28
В городе N в течении 6 месяцев произошло следующее количество дорожно-транспортных происшествий (ДТП) с участием велосипедистов:
Определите среднеквадратическое отклонение случайной величины Х – количества ДТП.
• 1,56
• 4,17
• 5
В результате обследования 150 человек были получены данные о количестве приобретаемых за месяц цветных иллюстрированных журналов:
Установите закон, которому соответствует данное распределение.
• Закон Колмогорова
• Закон Пуассона
• Закон Масона
В таблице представлены данные о работе двух организаций одного объединения.
Определите средний процент выполнения плана и среднюю фактическую выработку продукции на одного рабочего.
• Средний процент выполнения плана равен (105 + 101) / 2 = 103 %; средняя фактическая выработка продукции на одного рабочего равна (30 + 45) / 2 = 38 тыс. руб.
• Средний процент выполнения плана равен (6300 + 9090) / (6000 + 9000) * 100 % = 102,6 %; средняя фактическая выработка продукции на одного рабочего равна (6300 + 9090) / [(6300 / 30) + (9090 / 45)] = 37,4 тыс. руб.
• Средний процент выполнения плана равен (6000 + 9000) / (6300 + 9090) * 100 % = 97,5 %; средняя фактическая выработка продукции на одного рабочего равна (30 + 45) / 2 = 38 тыс. руб.
В таблице представлены данные по средней дневной выручке киосков розничной продажи.
На основе этих данных:
1) Определите вид ряда распределения.
2) Определите среднюю арифметическую, моду, медиану.
3) Сделайте выводы.
• Интервальный вариационный ряд распределения;
Средняя – 137 тыс. руб., мода – 137 тыс. руб., медиана – 137 тыс. руб.
Равенство моды, медианы и средней говорит о симметричном, нормальном распределении данных. Средняя дневная выручка киоска составляет 137 тыс. руб., как и наиболее распространенная выручка. Половина всей совокупности киосков в день реализуют продукции на общую выручку, не превышающую 137 тыс. руб., и 50 % киосков ежедневно работают со средней выручкой от 137 до 148 тыс. руб.
• Интервальный вариационный ряд распределения;
Средняя – 140 тыс. руб., мода – 140 тыс. руб., медиана – 140 тыс. руб.
Равенство моды, медианы и средней говорит о симметричном, нормальном распределении данных. Средняя дневная выручка киоска составляет 140 тыс. руб., как и наиболее распространенная выручка. Половина всей совокупности киосков в день реализуют продукции на общую выручку, не превышающую 140 тыс. руб., и 50 % киосков ежедневно работают со средней выручкой от 140 до 148 тыс. руб.
• Интервальный вариационный ряд распределения;
Средняя – 135 тыс. руб., мода – 135 тыс. руб., медиана – 135 тыс. руб.
Равенство моды, медианы и средней говорит о симметричном, нормальном распределении данных. Средняя дневная выручка киоска составляет 135 тыс. руб., как и наиболее распространенная выручка. Половина всей совокупности киосков в день реализуют продукции на общую выручку, не превышающую 135 тыс. руб., и 50 % киосков ежедневно работают со средней выручкой от 133 до 141 тыс. руб.
В таблице представлены данные по средней дневной выручке киосков розничной продажи.
На основе этих данных определите среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
• Среднее квадратическое отклонение – 4,17 тыс. руб., коэффициент вариации – 3 %.
• Среднее квадратическое отклонение – 17,4 тыс. руб., коэффициент вариации – 12,5 %.
• Среднее квадратическое отклонение – 4,17 тыс. руб., коэффициент вариации – 0,03 %.
Изучите диаграммы размаха («ящики с усами»). На основе диаграмм сделайте выводы. (Укажите 5 вариантов ответа).
• Наибольший размах в количестве проданных акций у компании Б, наименьший размах – у компании В.
• Наибольшее число проданных акций у компании А составляло 6 000 шт.
• Наибольшее количество проданных акций у компании В превышает 6 100 шт.
• Наименьшее медианное значение продажи акций – у компании Б.
• Наибольшее медианное значение продажи акций – у компании В.
• Ровно половина всех проданных акций компании А превышает 2500.
• Наиболее симметричными являются данные в компании В.
• Наибольшее смещение в данных характерно для компании Б.
• Наиболее плотно сгруппированы данные по компании А.
Имеется следующая группировка предприятий, производящих однотипную продукцию (по численности персонала):
Произведите перегруппировку предприятий, приняв для новой группировки следующие интервалы: 100–300; 300–600; 600–900; 900 и более.
Имеются следующие данные о выпуске предприятиями однородной продукции.
Определите: 1) на сколько процентов в среднем изменился выпуск продукции в натуральном выражении; 2) индивидуальные индексы себестоимости продукции; 3) среднее изменение себестоимости продукции.
Имеются следующие данные о реализации фруктов на городском рынке города Ейска в июне 2019 г.
Определите: 1) на сколько процентов в среднем изменились цены на всю реализованную продукцию; 2) прирост выручки от реализации за счет изменения цен (перерасход покупателей, вызванный ростом цен).
Маркетинговой фирмой собраны данные, представленные в таблице, отражающие зависимость спроса от цены на некоторый товар.
Линейное уравнение регрессии, построенное на основе данных приняло вид:
ŷ = −4188,7 + 50,37 · x.
Чему равна ошибка аппроксимации? (Ответ округлить до целых).
• 21 %
• 14 %
• 11 %
По структурным подразделениям предприятия имеются следующие отчетные данные за сентябрь:
Вычислите и проставьте в таблицу все недостающие данные (точность расчета: численность работников и общий фонд заработной платы – до целого числа, остальные показатели до 0,1).
Построена аддитивная модель временного ряда с линейным трендом и сезонными колебаниями в 4 года.
Сделайте прогноз для 7-го года от начала наблюдений.
• 29,882
• 27,227
• 31,425
При случайном повторном отборе было установлено, что средний вес товара в выборочной совокупности, состоящей из 90 изделий, оказался равным 8,2 кг при среднеквадратическом отклонении 0,5 кг.
С вероятностью, равной 0,954, определите, в каких пределах заключен средний вес товара в генеральной совокупности.
• От 8 до 8,4.
• От 8,2 до 8,7.
• От 7,7 до 8,7.
Проанализировав данные о размерах одной покупки потребителей в супермаркете за неделю по группам товаров (продовольственные, бытовая химия, одежда, товары для дома), менеджер супермаркета получил следующие результаты: в среднем за неделю на одну покупку в данном супермаркете потребитель тратит 890 руб.; среднее квадратическое отклонение размера расходов на одну покупку составляет 87 руб. На основании этого менеджер сделал следующий вывод: так как величина среднего квадратического отклонения не превышает 10 % размера средней, все покупки близки друг к другу по размеру и вид товара не оказывает влияния на размер расходов потребителя. Какие выводы менеджера верны, а какие необоснованны или преждевременны? Если необходимо повысить качество его исследования, что вы можете рекомендовать менеджеру?
• Для того чтобы проверить степень однородности размера покупок, действительно необходимо рассчитать коэффициент вариации, что менеджер и сделал. На основании рассчитанного значения (87 / 890 * 100 % = 9,8 %), которое не превышает порогового уровня в 33 %, можно сделать вывод о том, что покупки близки друг к другу по размеру. Но вывод о том, что вид товара не оказывает влияния на размер расходов потребителя, является необоснованным, так как для такого вывода необходимо будет провести исследование зависимости между данными показателями с помощью статистических методов.
• Для того чтобы проверить степень однородности размера покупок, действительно необходимо рассчитать коэффициент вариации, что менеджер и сделал. На основании рассчитанного значения (87 / 890 * 100 % = 9,8 %), которое не превышает порогового уровня в 33 %, можно сделать вывод о том, что покупки близки друг к другу по размеру. Вывод о том, что вид товара не оказывает влияния на размер расходов потребителя, является обоснованным.
• Для того чтобы проверить степень однородности размера покупок, действительно необходимо рассчитать коэффициент вариации, что менеджер и сделал. На основании рассчитанного значения (87 / 890 * 100 % = 9,8 %), которое не превышает порогового уровня в 33 %, можно сделать вывод о том, что покупки разные по размеру. Но вывод о том, что вид товара не оказывает влияния на размер расходов потребителя, является необоснованным, так как для такого вывода необходимо будет провести исследование зависимости между данными показателями с помощью статистических методов.
Уровень временного ряда (уt) формируется под воздействием различных факторов – компонент: Т (тенденция); S (циклические и/или сезонные колебания); Е (случайные факторы). Укажите значения компонент уровня временного ряда, которые формируют мультипликативную модель временного ряда.
• уt=7;T=3,5;S=-2;E=1.
• уt=7;T=-3,5;S=-2;E=-1.
• уt=7;T=3,5;S=2;E=1.
• уt=7;T=6,5;S=0;E=0,5.
Фирма получает прибыль от продукции в размере, который зависит от объема производства. Эти данные представлены в таблице.
Чему будет равен параметр b₁ в линейном уравнении регрессии, связывающем данные переменные? (Ответ округлить до целого).
• 731
• 980
• 652
Численность населения России по переписи населения 1989 г. составляла 147 млн чел., в том числе городского – 108 млн чел., а сельского 26,5 % от численности общего населения. По данным переписи населения 2002 г. общая численность населения снизилась на 1,8 млн чел., из которых на городское население приходилось 73,3 %. По данным переписи населения 2020 г. общая численность населения составила 147,2 млн чел., из которых на городское население приходилось 110,1 млн чел.
Представьте эти данные в виде таблицы.
...
ТЕСТ 7
График четной функции симметричен относительно …
• оси ординат
• оси абсцисс
• начала координат
Дана функция f(x) = −x² + 8x − 13. Найдите множество значений данной функции.
• x ∈ (−∞; 3)
• x ∈ [3; +∞)
• x ∈ (−∞; 3]
Если известно, что функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке x = 2 и lim f(x) = 1, x⟶2−0, тогда lim f(x), x⟶2+0 равен …
• 0
• 1
• -1
Значение предела lim (2x⁵ − 3x³ + 1) / (x⁵ + 4x² + 2x), x⟶∞ равно …
Предел lim (7x² + 4x − 3) / (2x² + 3x + 1), x⟶−2 равен …
• 15/3
• 17/3
• 14/3
Пусть даны множества A={1,2,3} и B={3,4,5}, тогда единственный элемент множества A∩B равен …
Пусть даны множества A={1,2,3} и B={3,4,5}, тогда сумма всех элементов множества A∪B равна …
Пусть последовательность задана формулой xn=(-1)n, тогда сумма первых трех ее членов равна …
Расположите данные числа в порядке принадлежности множествам «рациональных чисел, иррациональных чисел, натуральных чисел, множество целых чисел»:
1 1/3
2 √3
3 3
4 -3
Установите соответствие между свойствами пределов и их значениями:
A. lim c ⋅ f(x), x⟶x₀
B. lim (f(x) + g(x)), x⟶x₀
C. lim f(x) / g(x), x⟶x₀
D. c ⋅ lim f(x), x⟶x₀
E. lim f(x), x⟶x₀ + lim g(x), x⟶x₀
F. lim f(x), x⟶x₀ : lim g(x), x⟶x₀
Функция … является четной
• y=sinx
• y=x⁴
• y=x³
ТЕСТ 8
Значение производной функции y=7x³-2x²+5x-1 в точке x₀=0 равно …
Значение производной функции y=ln(7x-7) в точке x₀=0 равно …
Значение производной функции y=x∙lnx в точке x₀=1 равно …
Производная сложной функции y = √(x² − 3x + 17) имеет вид …
• (2x − 3) / √(x² − 3x + 17)
• (2x − 3) / 2√(x² − 3x + 17)
• −(2x − 3) / √(x² − 3x + 17)
Производная функции y = √(x² − 3x + 17) в точке x₀ = 1 равна …
• −1 / 2√15
• 1 / 2√15
• −1 / √15
Производная функции y=7x³-2x²+5x-1 имеет вид …
• -21x²+4x+5
• 21x²-4x+5
• -21x²-4x-5
Расположите значения производных для функций в порядке «y=xⁿ,y=aˣ,y=√x»:
1 y' = n ⋅ xⁿ⁻¹
2 y' = aˣ ⋅ lna
3 y' = 1 / 2√x
Существует уравнение касательной к прямой в x = −1 функции y = x² / (x + 2)².
Найдите уравнение касательной.
• y=-4x-3.
• y = 4x + 3.
• y = (−4x − 3) / 2.
Точка x₀ называется точкой максимума функции y=f(x), если для всех точек x≠x₀ из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство …
• f(x)f(x₀)
• f(x)=f(x₀)
Установите соответствие между правилами дифференцирования и соответствующими формулами:
A. (u+v)'
B. (u∙v)'
C. (u/v)'
D. u' +v'
E. u' v+uv'
F. (u'v − uv') / v²
Функция у = f(x) называется … функцией на множестве D, если для любых x₁, x₂ ϵ D из неравенства x₁ < x₂ следует неравенство f(x₁) < f(x₂)
ТЕСТ 9
Дан неопределенный интеграл ∫ sinx cos⁵ xdx.Вычислите его значение.
• 1/2 ⋅ tg(x²) + C.
• −3¹⁻⁵ˣ / 5ln3 + C.
• −cos⁶x / 6 + C.
Неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³dx равен …
• 2x⁴ + C
• −8x⁵/5 + C
• −2x³ + 3x⁴ − 8x⁵/5 + C
Несобственный интеграл является … интегралом, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности
Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=3..8 равен …
• 1/2
• 7/5
• 32/3
Определенный интеграл ∫ (1 / √(x + 1))dx, x=0..1 равен …
• 2√2
• 2√2-2
• -2√2
Определенный интеграл ∫ f(x)dx, x=a..a равен …
Расположите значения данных интегралов в порядке возрастания:
1 x²dx, x=1..2
2 x⁴dx, x=1..2
3 (3 − 2x − x²)dx, x=-2..1
Результат вычисления интеграла ∫ x⁻⁴dx, x=1..+∞ составляет …
• 1/3
• 3
• 1
Согласно формуле Ньютона-Лейбница ∫ f(x)dx =, x=a..b …
• F(a)-F(b)
• F(b)-F(a)
• F(a)+F(b)
Установите соответствие между интегралом элементарной функции и его значением:
A. ∫ dx/x
B. ∫ sinxdx
C. ∫ dx/cos²x
D. ln |x|+C
E. -cos fx+C
F. tg x+C
Функция F(x) называется … для функции f(x), если F(x)' =f(x)
ТЕСТ 10
Дифференциал функции двух переменных z=5x-3y имеет вид …
• dz=5dx-3dy
• dz=5dx
• dz=3dy
Если для функции f(x; y) справедливо равенство fx'(x₀; y₀) = fy'(x₀; y₀) = 0, то точка (x₀; y₀) является …
• точкой экстремума
• точкой разрыва
• стационарной точкой
Значение предела lim x² + 2y² + 6, x⟶0, y⟶1 равно …
Значение функции z(x; y)=2x-y+15 в точке A(-2; 1) равно …
Необходимо вычислить значение 1,242,02. Проведите данное вычисление, используя дифференциал.
• 1,5
• 1,08
• 2
Область на плоскости с присоединенной к ней границей называется … областью
Расположите данные выражения для функции z(x;y)=7x³+5xy+3x-2y³ в порядке «частная производная по x первого порядка, частная производная по x второго порядка, частная производная по y первого порядка»:
1 21x²+5y+3
2 42x
3 5x-6y²
Установите соответствие между функцией двух переменных и ее частной производной по переменной x:
A. z=3x²+2y-3
B. z=5x²-3y+1
C. z=x³+7x-2
D. zx' =6x
E. zx' =10x
F. zx' =3x²
Функция k=3x+5y-2z+1+l является функцией … переменных
• трех
• четырех
• пяти
Частная производная по переменной y функции z(x; y) = 5x⁴y² равна
• 10x⁴ y
• 10x² y
• 10x⁵ y
Частная производная ∂z(x; y)/∂x функции z(x; y) = y − 3x³ + 2 равна
• -3x²
• 3x²+2
• -9x²
ТЕСТ 11
График решения дифференциального уравнения называется … кривой
Дано обыкновенное дифференциальное равнение первого порядка: y' + y/x = x² ⋅ y⁴.
Приведите решение данного уравнения.
• z=(-3⋅ln|x|+C)⋅x³.
• z=(-6⋅ln|x|+C)⋅x².
• z=(-4⋅ln|x|+C)⋅x³.
Дифференциальное уравнение xy' − y = xe^(y/x) …
• является линейным
• является однородным
• не является ни однородным, ни линейным
Задачей … называется задача нахождения такого решения уравнения, которое при x=x_0 принимает значение y=y_0
Метод вариации произвольной постоянной решения линейного дифференциального уравнения также называется методом …
Общее решение уравнения (2x+1)dy+y² dx=0 имеет вид …
• y = ln│2x + 1│ + C
• y = 2 / (ln│2x + 1│ + C)
• y=2
Решение уравнения y'+y∙sinx=0 имеет вид …
• ln y=cos x+C
• ln x=cos x+C
• ln y=cos y+C
Упорядочьте дифференциальные уравнения от первого до третьего порядка:
1 y'-3y=2x
2 y"-xy=0
3 y"' +3 y' +0
Уравнение вида N(x,y)dx+M(x,y)dy=0 называется уравнением в …
• полных дифференциалах
• постоянных дифференциалах
• частных производных
Установите соответствие между дифференциальным уравнением первого порядка и его общим видом:
A. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
B. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
C. Однородное дифференциальное уравнение
D. f(y)dy=f(x)dx
E. f₁ (x)g(y)dx=f₂ (x)dy
F. P(x,y)dx=Q(x,y)dy
Функция f(x; y) = 2xy / (x² + y²) является …
• однородной
• неоднородной
• условной
ТЕСТ 12
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''+y'-2y=0. Приведите решение данного уравнения.
• y=c₁⋅eˣ+c₂⋅e⁻²ˣ.
• y=c₁⋅eˣ+2c₂⋅e⁻²ˣ.
• y=2c₁⋅eˣ+c₂2e⁻²ˣ.
Дискриминант характеристического уравнения дифференциального уравнения y''-5 y'+6y=0 равен …
Если дифференцируемые функции y₁=y₁ (x) и y₂=y₂(x) линейно зависимы на (a,b), то определитель Вронского равен …
• 0
• 1
• -1
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''-4y'=10 имеет частное решение с неопределенными коэффициентами вида …
• y̅ = 10x
• y̅ = Ax
• y̅ = C
Общее решение уравнения y''-4y=0 имеет вид …
• y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ
• y = c₁e²ˣ
• y = c₁e⁻³ˣ
Общее решение уравнения y''-5 y'+6y=0 имеет вид …
• y=c₁e²ˣ + c₂e³ˣ
• y=c₁e⁻²ˣ + c₂e³ˣ
• y=c₁e²ˣ + c₂e⁻³ˣ
Определитель вида W(x) =│(y₁, y₂), (y'₁, y'₂)│ для двух дифференцируемых функций y₁ = y₁(x) и y₂ = y₂(x) называется определителем …
• Коши
• Вронского
• Лейбница
Упорядочьте дифференциальные уравнения следующим образом: «дифференциальное уравнение 1-го порядка, линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка»:
1 y'-3y+2x=0
2 y''+py'+qy=0
3 y''+py'+qy=f(x)
Условием существования двух комплексных корней характеристического уравнения дифференциального уравнения является то, что дискриминант характеристического уравнения …
• больше нуля
• равен нулю
• меньше нуля
Установите соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка:
A. k₁≠k₂
B. k₁=k₂
C. k₁=k₂=a+ib
D. y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
E. y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣ
F. y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)
Функции y_1=y_1 (x) и y_2=y_2 (x) называются линейно … на (a,b), если равенство α₁y₁+α₂y₂+0 выполняется тогда и только тогда, когда числа α₁ = α₂ = 0
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ
Абсцисса точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂ =-2x-1 равна …
В древнем Китае матрицы называли …
• «умными прямоугольниками»
• «прекрасными трапециями»
• «красивыми треугольниками»
• «волшебными квадратами»
Вектор a{1, 2, 3} имеет длину, равную …
• √219
• √218
• √220
Векторное произведение векторов a{1, 2, 3} и b{5, 4, 3} равно …
• {-7,12,6}
• {-6,12,-6}
• {-7,-10,6}
Вронскианом называется определитель вида …
• |(y₁, y₂), (y₁', y₂')|
• |(y₁, y₂), (y₁², y₂²)|
• |(y₁, y₂), (y₁'', y₂'')|
Габриэль Крамер опубликовал «правило Крамера» в …
• 1781 г.
• 1751 г.
• 1741 г.
• 1791 г.
График нечетной функции симметричен относительно …
• оси ординат
• оси абсцисс
• начала координат
Данное дифференциальное уравнения (2x+1) y'+y=x …
• является линейным
• является однородны
• не является ни однородным, ни линейным
Две плоскости пересекаются, если они имеют …
• одну общую точку
• две общие точки
• бесконечно много общих точек
Две прямые y₁=7x+5 и y₂=7x-5 на плоскости …
• параллельны
• пересекаются
• могут пересекаться или быть параллельными
Дискриминант характеристического уравнения данного дифференциального уравнения y''+5y'-6y=0 равен …
Дифференциал функции двух переменных z=3x+2y имеет вид …
• dz=3dx
• dz=5dy
• dz=3dx+2dy
Если дифференцируемые функции y₁=y₁(x) и y₂=y₂ (x) линейно независимы от решения дифференциального уравнения на (a,b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не может быть равен …
• 0
• 1
• -1
Если известно, что функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке x = 3 и lim f(x) = 2, x⟶3−0, тогда lim f(x), x⟶3+0 равен …
• 0
• -2
• 2
Если даны матрицы ((8, −4), (−5, 0)) и ((1, −7), (4, 9)), то значение выражения A² − Bᵀ будет …
• ((75, 36), (−16, 11))
• ((83, −36), (−33, 11))
• ((−83, 36), (33, −11))
• ((8, −4), (−5, 0))
Если свойство транспонирования произведения матриц выглядит как (A⋅B)T=BT⋅AT, то можно утверждать, что транспонирование произведения матриц есть …
• произведение транспонированных матриц, взятых в том же порядке
• произведение транспонированных матриц, взятых в обратном порядке
• сумма транспонированных матриц, взятых в том же порядке
• разность транспонированных матриц, взятых в обратном порядке
Задачей … называется задача нахождения такого решения уравнения, при котором интегральная кривая решения проходит через точку с координатами (x₀,y₀)
Значение предела lim (5x³ + x² + 1) / (2x⁴ − 3x² + 5x + 2), x⟶∞ равно …
Значение предела lim x² + 2y² + 6, x⟶0, y⟶1 равно …
Значение производной функции y=ln(1+5x) в точке x₀=0 равно …
Значение производной функции y=x∙lnx в точке x₀=e равно …
Значение функции z(x;y)=3x-2y+16 в точке A(1; 2) равно …
Какое из следующих действий не относится к элементарным преобразованиям матрицы
• умножение строки на число, отличное от нуля
• перестановка местами двух строк
• возведение строки в квадрат
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(-3,0) и B(5,2), имеет вид …
• (x+3)/8 = (y-1)/2
• (x+3)/8 = y/2
• (x+3)/10 = (y-2)/-10
Координаты середины отрезка с концами в точках А(3,-2,5) и А(5,2,-7) равны …
• (4,-2,6)
• (1,0,-3)
• (4,0,-1)
Косинус угла между прямыми y₁=2x+1 и y₂=-x+2 равен …
• √10 / 10
• √10 / 15
• 0.6
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''+4y'=10x²+1 имеет частное решение с неопределенными коэффициентами вида …
• y̅ = Ax² + Bx + C
• y̅ = Ax
• y̅ = x + 10
Матрица ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)) имеет размерность …
• 3 х 4
• 4 х 4
• 3 х 3
• 4 х 3
Матрица А называется невырожденной, если …
• |A|=0
• |A|≠0
• |A|>0
Матрица произвольной размерности A = ((a11, a12, …, a1n), (0, a21, …, a2n), (…, …, …, …), (0, 0, 0, 0)), где a11, a22, …, arn ≠ 0, называется … матрицей
Метод решения линейного дифференциального уравнения, при котором решение ищется в виде произведения двух функций, называется методом …
Множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности, называется …
Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называется … уравнения
Неопределенный интеграл ∫ dx / (x² + 4x + 5) равен …
• arcsin(x+2)+C
• arctg(x+2)+C
• sin(x+2)+C
Несобственный интеграл является … интегралом, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла
Общее решение уравнения y'+4y=0 имеет вид …
• y = c₁ + e²ˣ
• y = c₁e²ˣ + c₂e²ˣ
• y = c₁cos2x + c₂sin2x
Общее решение уравнения y''+5y'-6y=0 имеет вид …
• y=c₁e⁶ˣ+c₂e³ˣ
• y=c₁e⁻⁶ˣ+c₂eˣ
• y=c₁e⁻²ˣ+c₂e⁻³ˣ
Определенный интеграл ∫ (1 / √(x + 1))dx, x=0..2 равен …
• 2√3-2
• 2√3
• -2√2
Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=0..3 равен …
• 8/3
• 3/8
• 1/3
Определенный интеграл ∫ f(x)dx, x=2..2 равен …
Предел lim (x² − 2x) / (x² − 4), x⟶2 равен …
• 0.5
• 0.7
• 0
При перестановке двух строк матрицы ее определитель …
• меняет знак на противоположный
• не меняет знак
• в одних случаях меняет знак на противоположный, в других случаях – не меняет знак
Производная сложной функции y = √(x³ + 5x² – 3) имеет вид …
• (3x² + 10x) / 2√(x³ + 5x² – 3)
• (3x² − 10x) / √(x³ + 5x² – 3)
• −(2x − 3) / √(x² – 3x + 17)
Производная функции у=3х³+2x²-5x+7 имеет вид …
• 9x²+4x-5
• 21x²-4x+5
• -21x²-4x-5
Процесс нахождения первообразной для данной функции называют …
Пусть дан вектор a{−3, 7, 2}, тогда длина вектора 3a равна …
• √550
• √560
• √558
Пусть дана матрица A = ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1)), тогда квадрат определителя этой матрицы будет равен …
Пусть дана матрица A = ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1)), тогда сумма миноров M₂₂ + M₃₃ равна …
• -11
• -12
• -10
Пусть дана матрица A = ((12, −17), (−5, −9)), тогда ее определитель равен …
Пусть дана матрица A = ((2, 3), (1, −2)), тогда обратная матрица будет иметь вид …
• ((3, 2), (−2, 1))
• ((2/7, 3/7), (1/7, −2/7))
• ((2, 1), (3, −2))
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ - 2x₃ = 9, 3x₁ - 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ - 4x₃ = 11, тогда определитель |A| этой системы равен
• 16
• 17
• 18
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₁| этой системы равен
• 34
• 35
• 36
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₃| этой системы равен
• -32
• -33
• -34
Пусть дана система уравнений A = {3x – 4y + z = 0, 2x + y – 3z = –5, x – 2y + z = 0, тогда данная система …
• не имеет решений
• имеет 1 решение
• имеет 2 решения
Пусть даны векторы a{3, 4, 5} и b{6, 7, 8}, тогда сумма координат вектора a + b равна …
Пусть даны множества A={3,4,5} и B={7,6,5}, тогда единственный элемент множества A∩B равен …
Пусть даны множества A={3,4,5} и B={7,6,5}, тогда сумма всех элементов множества A∪B равна …
Пусть уравнение плоскости задано точкой A(-2, 2, 8) и нормалью n(1, 2, 3), тогда коэффициент при переменной x в данном уравнении равен
Разность координат нормального вектора плоскости 3x-y+2z+2=0 равна …
Расположите выражения, известные для системы линейных уравнений {3x₁ + 2x₂ – x₃ = 2, x₁ – 3x₂ + 2x₃ = 3, 2x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 4 в порядке «основная матрица системы, расширенная матрица системы, матрица неизвестных, матрица правой части»:
1 ((3, 2, –1), (1, –3, 2), (2, 4, –2))
2 ((3, 2, –1, 2), (1, –3, 2, 3), (2, 4, –2, 4))
3 (x₁, x₂, x₃)
4 (2, 3, 4)
Расположите данные выражения для функции z(x;y)=3x³+7xy-5x+3y⁴ в последовательности «частная производная по x первого порядка, частная производная по x второго порядка, частная производная по y первого порядка»:
1 9x²+7y-5
2 18x
3 7x+12y³
Расположите действия нахождения обратной матрицы в логическом порядке:
1 найти определитель исходной матрицы
2 найти транспонированную матрицу к исходной
3 найти алгебраические дополнения
4 составить обратную матрицу
Расположите дифференциальные уравнения в последовательности «дифференциальное уравнение 1-го порядка, линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка»:
1 2x+ y'-y=0
2 y''+2y'+3y=0
3 y''+2y'+3y=x²
Расположите длины векторов a{1, 2, 3}, b{−1, 2, 4} и c{3, −4, 5} в порядке возрастания:
1 │a│
2 │b│
3 │c│
Расположите значения данных интегралов в порядке убывания:
1 ∫ 2x²dx, x=1..2
2 ∫ (x³ − x²)dx, x=0..2
3 ∫ dx / x, x=1..-e
Расположите значения производных для функций в порядке «y=sinx,y=cosx,y=lnx»:
• y' = cosx
• y' = −sinx
• y' = 1/x
Расположите матрицы в порядке «нижняя треугольная, квадратная, верхняя треугольная, неквадратная»:
1 ((3, 0, 0), (3, 3, 0), (3, 3, 3))
2 ((2, 2, 2), (2, 2, 2), (2, 2, 2))
3 ((2, 2, 2), (0, 2, 2,), (0, 0, 2))
4 ((1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1))
Расположите прямые y₁, y₂ и y₃, заданные уравнениями, в порядке убывания их угловых коэффициентов:
1 y₃ = -9
2 y₁ = -7x+1
3 y₂ = -8x+2
Расположите точки A(0,7,2), B(1,2,3) и C(-5,7,9) в порядке принадлежности плоскостям «x-y+1=0,4x-26y+33z-95=0, -17x+5y+18z-71-0»
1 B
2 C
3 A
Расположите числа в порядке принадлежности множествам «иррациональных чисел, рациональных чисел, целых чисел, натуральных чисел»:
1 √2
2 1/2
3 -2
4 2
Расстояние от точки A(2,1) до прямой 3x-4y-3=0 равно …
Расстояние от точки A(2,3,-1) до плоскости 2x-y+3z=2 равно …
• 4/√14
• 2/√14
• -4/√15
Результат вычисления интеграла ∫ x⁴dx, x=1..3 составляет
• 1/5
• 243
• 242/5
Решение уравнения y'=5x+2 имеет вид …
• 5x²/2 - 2x + C
• -5x²/2 - 2x + C
• 5x²/2 + 2x + C
Решением системы уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, будет …
• (2, 1, −2)
• (−2, 1, −2)
• (2, 1, 2)
Скалярное произведение векторов a{7, 8, 9}, b{−3, 4, −5} равно …
Сопоставьте матричные уравнения и их решения
A. A∙X=B
B. X∙A=B
C. A∙X∙C=B
D. X=A-1∙B
E. X=B∙A-1
F. X=A-1∙B∙C-1
Сумма координат вектора a = −3I + 2j + 5k равна …
Сумма координат нормального вектора плоскости 3x-2y+z-1=0 равна …
Сумма координат середины отрезка с концами в точках A(-3,-2,5) и A(5,2,-7) равна …
Сумма координат точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂ =3x-2 равна …
Сумма элементов второй строки матрицы, обратной к матрице A = ((2, 2, 1), (1, 3, 1), (1, 0, 0)) равна …
Точка x₀ называется точкой минимума функции y=f(x), если для всех точек x≠x₀ из некоторой окрестности точки x₀ выполняется …
• неравенство f(x)f(x₀)
• равенство f(x)=f(x₀)
Три вектора образуют базис в пространстве тогда и только тогда, когда эти векторы …
• не коллинеарны
• не компланарны
• компланарны
Упорядочьте дифференциальные уравнения от первого до третьего порядка:
1 y' +3 y=x2
2 y''=xy
3 y'''-3y'=0
Уравнение y' +2y=4 при условии y(0)=5 имеет частное решение…
• y=3e⁻²ˣ+5
• y=3e⁻²ˣ+2
• y=3e⁻²ˣ
Уравнение вида y' +p(x)y=q(x)⋅уn называется уравнением …
• Бернулли
• Пифагора
• Коши
Уравнение прямой, проходящей через точки А(5,-6) и В(-7,0), имеет вид …
• y = -0,5x-3,5
• y = -0,5x+3,5
• y = 0,4x+2,2
Условием существования двух действительных корней характеристического уравнения дифференциального уравнения является то, что дискриминант характеристического уравнения …
• больше нуля
• равен нулю
• меньше нуля
Установите соответствие между взаимным расположением прямых y₁=k₁ x+b₁ и y₂=k₂ x+b₂ на плоскости и условием этого расположения:
A. Прямые параллельны
B. Прямые перпендикулярны
C. Прямые совпадают
D. k₁=k₂,b₁≠b₂
E. k₁∙k₂=-1
F. k₁=k₂,b₁=b₂
Установите соответствие между действиями над матрицами A = ((1, −7), (4, 9)) и B = ((8, −4), (−5, 0)) и результатами этих действий:
A. A+B
B. A-B
C. A⋅B
D. B⋅A
E. ((9, −11), (−1, 9))
F. ((−7, −3), (−5, 0))
G. ((−7, −3), (9, 9))
H. ((−8, −92), (−5, 35))
Установите соответствие между интегралом элементарной функции и его значением:
A. ∫ eˣ dx
B. ∫ cosx dx
C. ∫ dx / sin²x
D. eˣ+C
E. sinx+C
F. -ctgx+C
Установите соответствие между линейными операциями над векторами a{a₁, a₂, a₃} и b{b₁, b₂, b₃} и результатами этих операций:
A. a + b
B. b − a
C. kb
D. {a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃}
E. {b₁ − a₁, b₂ − a₂, b₃ − a₃}
F. {kb₁, kb₂, kb₃}
Установите соответствие между общим видом дифференциального уравнения и методом его решения:
A. f(y)dy=f(x)dx
B. f₁ (x)g(y)dx=f₂ (x)dy
C. P(x,y)dx=Q(x,y)dy
D. проинтегрировать обе части уравнения
E. разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения
F. применить подстановку y=ux,u=f(x)
Установите соответствие между операциями над матрицами и их характеристиками
A. Сложение матриц
B. Вычитание матриц
C. Умножение матрицы на число
D. сложение соответствующих элементов матриц
E. вычитание соответствующих элементов матриц
F. умножение всех элементов матрицы на число
Установите соответствие между понятием и соответствующей формулой:
A. Приращение функции в точке x₀
B. Дифференциал функции
C. Производная функции в точке x₀
D. Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀)
E. dy = f'(x)dx
F. f'(x₀) = lim Δy / Δx, Δx⟶0
Установите соответствие между правой частью нелинейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и его частным решением
A. f(x)=aemx, m≠k₁≠k₂
B. f(x)= aemx, m=k₁
C. f(x)=ax²+bx+c
D. ỹ = Aemx
E. ỹ = Axemx
F. ỹ = Ax² + Bx + C
Установите соответствие между свойствами пределов и их значениями:
A. lim c, x⟶x₀
B. lim (f(x) ⋅ g(x)), x⟶x₀
C. lim (f(x) − g(x)), x⟶x₀
D. 0
E. lim f(x), x⟶x₀ ⋅ lim g(x), x⟶x₀
F. lim f(x), x⟶x₀ − lim g(x), x⟶x₀
Установите соответствие между способом задания прямой в пространстве и ее уравнением:
A. Общее уравнение прямой
B. Точки M₁ (x₁, y₁, z₁ ) и M₂ (x₂, y₂, z₂ ) лежат на прямой
C. Известны напрявляющий вектор l(m, n, p) и точка M(x₀, y₀, z₀)
D. {A₁x + B₁y + C₁z = 0, A₂x + B₂y + C₂z = 0
E. (x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁) = (z − z₁) / (z₂ − z₁)
F. (x − x₀) / m = (y − y₀) / n = (z − z₀) / p
Установите соответствие между функцией двух переменных и ее частной производной по переменной x:
A. z=3x²+5x-2y
B. z=x²-x+1
C. z=2x³-3x
D. zx' =6x+5
E. zx' =2x-1
F. zx' =6x-3
Функция … является нечетной
• y=cosx
• y=x^6
• y=x^5
Функции y₁=y₁ (x) и y₂=y₂ (x) называются линейно … на (a,b), если равенство α₁y₁+α₂y₂+0 выполняется тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел α₁ или α₂ отлично от нуля
Функция нескольких переменных является дифференцируемой, если …
• существует полное приращение функции
• функция непрерывна по одному аргументу
• существует полный дифференциал функции
Функция f(x; y) = (2x - y²) / (x² + y²) является …
• однородной
• неоднородной
• условной
Функция k=3x+5y-2z+1 является функцией …
• одной переменной
• трех переменных
• четырех переменных
Целой положительной степенью Am квадратной матрицы A называется … m матриц, равных A
Частная производная по переменной x функции z(x;y)=5x⁴ y² равна …
• 20x³y²
• 20x²y²
• 20x²y⁴
Частная производная ∂z(x; y)/∂y функции z(x; y) = y − 3x³ + 2 равна …
• 3
• 1
• 2
Числа x и y в разложении вектора a = xe₁ + ye₂ относительно осей e₁ и e₂ называются … вектора a
Число, равное наивысшему порядку минора матрицы, называется … матрицы
• рангом
• определителем
• базисом
КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ТЕСТ
Дан вектор a = {2, 3, 2}.
Найдите вектор x, коллинеарный вектору a и удовлетворяющий условию (x, a) = 34.
• x = {4, 3, 4}
• x = {7, 6, 7}
• x = {4, 6, 4}
Дан матричный многочлен f(A) = 3A²– 5A + 2. Нужно вычислить его значение.
Приведите метод решения.
• Найти значение A², умножить на 3, умножить матрицу А на -5, сложить полученные матрицы, прибавить к ней матрицу с элементами главной диагонали, равной 2.
• Найти значение A², умножить на 3, умножить матрицу А на -5, сложить элементы полученных матриц и к данному значению добавить 2.
• Найти обратную матрицу, умножить ее на 3, умножить матрицу А на -5, сложить элементы полученных матриц и к данному значению добавить 2.
Дан определенный интеграл ∫ (√x /(1 + √x))dx, x=0..1.
Вычислите его значение.
• √(3)π / 3 − ln2
• 1/3
• 2ln2 − 1
Дана матрица |A| = |(1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8)|.
Существует ли обратная матрица для данной матрицы и почему?
• Существует, так как ее определитель отличен от нуля.
• Не существует, так как ранг матрицы равен 3.
• Существует, так как данную матрицу можно транспонировать.
Дана матрица А = ((1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8))
Чему равен определитель данной матрицы? Будет ли он совпадать с определителем транспонированной матрицы?
• Определитель равен 12, будет совпадать.
• Определитель равен 12, совпадать не будет.
• Определитель равен 24, будет совпадать.
• Определитель равен 24, совпадать не будет.
Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2
Решая уравнение методом Гаусса, какие действия необходимо совершить?
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить алгебраические преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; вычислить значение свободных неизвестных.
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; совершить обратный ход Гаусса, вычислив значения неизвестных.
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; вычислить значения неизвестных путем подбора.
Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ - x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2.
Сколько решений имеет эта система уравнений и почему?
• Система имеет 1 решение, так как система совместна.
• Система имеет 3 решения, так как в системе 3 неизвестных.
• Система имеет бесконечное число решений, так как система несовместна.
Дана функция f(x) = arccos(x/2 − 1).
Найдите область определения функции.
• x ∈ (0; 4).
• x ∈ [0; 4).
• x ∈ [0; 4].
Дана функция f(x) = lg(3x − 1) + 2lg(x + 1).Найдите область определения функции.
• x ∈ ( 1/3; +∞).
• x ∈ (3; +∞).
• x ∈ ( 1/4; +∞).
Дана функция z = x²siny, z''xx.
Найдите частные производные второго порядка для этой функции.
• -6x² siny.
• -3x² siny.
• -x² siny.
Дана функция: z=x²-2xy²+y³. Найдите частные производные второго порядка для этой функции.
• -6x+7y.
• -4x+8y.
• -4x+6y.
Дана функция, заданная неявно: 2x² + 3y² = 9x.
Найдите производную данной функции
• (2x + 3y) / 9
• (9 - 4x) / 6y
• (9 - 2x) / 3
Дана функция, заданная параметрически: {x = 5t² + 3, y = t⁷ − 8.
Найдите производную первого порядка.
• y'=0,35t³.
• y'=0,7t³.
• y^'=0,7t⁵.
Дано дифференциальное уравнение: y'+2y=4x.Решите это уравнение.
• 5x-2+C⋅e⁻²ˣ.
• 4x-1+C⋅e⁻²ˣ.
• 2x-1+C⋅e⁻²ˣ.
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение
• y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
• y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ.
• y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение.
• y = c₁e²ˣcos5x + c₂e²ˣsin5x.
• y = c₁e²ˣcos3x + c₂e²ˣsin3x.
• y = c₁e²ˣcos2x + c₂e²ˣsin2x.
Даны векторы p и a.
Найдите орт вектора p (вектор единичной длины и того же направления, что вектор p) перпендикулярный вектору a и оси OX ⋅ pª ⊥ a = {3, 6, 8} и pª ⊥ OX.
• pª = ±(0; −0,8; 0,6}
• pª = ±(0; −0,6; 0,6}
• pª = ±(0; −0,8; 0,3}
Даны следующие матрицы: А₂ = ((1, 2), (3, 6)), В₂ = ((2, 6), (−1, 3)). Над данными матрицами было произведено алгебраическое действие, в результате которого получена матрица C₂ = ((3, 8), (2, 9)).
Какое алгебраическое действие было произведено?
• Умножение матрицы на матрицу
• Сложение матрицы с матрицей
• Разность матриц
Даны следующий матрицы: A₂ = ((1, 2), (3, 6)), B₂ = ((2, 6), (−1, 3)). Над данными матрицами было произведено алгебраическое действие, в результате которого получена матрица C₂ = ((3, 8), (2, 9)).
Какое алгебраическое действие было произведено?
• Умножение матрицы на матрицу.
• Сложение матрицы с матрицей.
• Вычитание матрицы из матрицы.
Известно, что прямая проходит через точки A(1; 1) и B(–2; 3). Найти угловой коэффициент k данной прямой и ординату b точки ее пересечения с осью Oy.
• k = –2/3; b = –5/3.
• k = –2/6; b = –5/6.
• k = –4/6; b = –5/6.
Параллелепипед построен на векторах a = 3i + 2j − 5k, b = i − j + 4k, c = i − 3j + k.
Вычислите высоту h данного параллелепипеда, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b.
• h = 49√323 / 323
• h = 49√323 / 3
• h = 4√323 / 323
Плоскости π₁ и π₂ заданы уравнениями 2x − y + 3z + 5 = 0 и x / 1 + y / −2 + z / 3 = 1.
Определите угол φ между данными плоскостями.
• φ = arccos(9√14/12)
• φ = arccos(6√14/16)
• φ = arccos(3√14/14)
Прямые 15x + 36y –105 = 0 и 5x + 12y + 30 = 0 параллельны. Найдите расстояние между данными прямыми.
• Расстояние между данными прямыми равно 9.
• Расстояние между данными прямыми равно 6.
• Расстояние между данными прямыми равно 5.
Фигура, образованная путем вращения вокруг оси Oх, ограничена линиями y=4x-x²,y=x. Найдите объем данного тела.
• π/2
• 108π/5
• 15/2
...
Размещение - это ...
Тип ответа: Одиночный выбор
упорядоченный набор чисел из некоторого множества различных n элементов
упорядоченный набор из к различных элементов из некоторого множества
различных n элементов
упорядоченный набор из к различных элементов из суммы различных n элементов
Если движение происходит в направлении градиента функции, то мы получим ...
Тип ответа: Одиночный выбор
скорость максимального изменения функции
увеличения размерности
индексацию массива
Градиент-это ...
Тип ответа: Одиночный выбор
вектор, который указывает направление роста функции
грамотное сопоставление условий для решения задачи
скорость изменения функции в данной точке
Сочетание без повторений - это ...
Тип ответа: Одиночный выбор
сочетание, где элементы повторяются
сочетание, где элементы не повторяются
сочетание, где элементы могут повторяться и не повторяться
Важной особенностью сочетания является то, что порядок ...
Тип ответа: Одиночный выбор
не применяется
имеет значение
не имеет значения
Частная производная – это производная ...
по одной переменной в случае, если функция имеет несколько переменных
скорость изменения функции в данной точке
грамотное сопоставление условий для решения задачи
Что из нижеперечисленного является функцией интеграла?
d/dx ∫ f(x)d=f(x)
d/dx ∫ f(x)dx=f(x)
d/x ∫f(x)dx^2=f(x)
Числа Стирлинга первого рода (со знаком) s (п, к) - это ...
Тип ответа: Одиночный выбор
коэффициенты элементов
коэффициенты многочлена
коэффициенты значений
Числа Стирлинга первого рода (без знака) - это ...
Тип ответа: Одиночный выбор
количество значений порядка n
количество перестановок значений с к циклами
количество перестановок порядка n с к циклами
Линейная регрессия - это модель машинного обучения, где ...
предсказываемое значение является составляющей переменной
предсказываемое значение является целым числом
предсказываемое значение является суммой взвешенных признаков
Интеграл - это аналог суммы для ...
Тип ответа: Одиночный выбор
бесконечного числа бесконечно малых слагаемых
бесконечного числа множественных слагаемых
бесконечного множества бесконечно малых слагаемых
Размещение без повторений - это размещение, где ...
Тип ответа: Одиночный выбор
элементы повторяются
элементы не повторяются
элементы могут повторяться и не повторяться
Что из нижеперечисленного является формулой скорости?
Тип ответа: Одиночный выбор
время/расстояние
расстояние/масса
расстояние/время
Что из ниже перечисленного является формулой сочетания без повторений?
(n/k)=C_n^k= n!/k!(n-k)!
(n/k)=C_n= n!/k!(n-k)!
(n/k)=C_n^k= n!/(n-k)!
Важной особенностью размещения является …
порядок
элемент числа
переменное значение
Что из ниже перечисленного является формулой размещения с повторениями?
A_n^(-k)=n^k
A_n=n^k
A_n^(-k)=n
Сочетания с повторениями – это …
сочетания, где элементы могут повторяться
сочетания, где элементы могут не повторяться
сочетания, где элементы могут повторяться и не повторяться
Сочетание – это …
неупорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества
различных n элементов
упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества
различных n элементов
неупорядоченный набор из чисел из некоторого множества различных n элементов
Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при
n>0 ?
s(n,0)= c(n,0)=0
s(n,0)= c(0,0)=0
s(0,n)= c(0,n)=0
Число Стирлинга второго рода из п по к, обозначаемым S (n, к), называется ...
Тип ответа: Одиночный выбор
количество неупорядоченных разбиений п - элементного множества на к непустых
подмножеств
количество неупорядоченных значений - элементного множества на к непустых
подмножеств
количество неупорядоченных разбиений п
Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при n,
к = 0?
Тип ответа: Одиночный выбор
s(0,1)=c(0,0)=1
s(0,0)= c(1,0)=1
s(0,0)= c(0,0)=1
Что из ниже перечисленного является формулой реккурентного соотношения при
k>0 ?
Тип ответа: Одиночный выбор
s(k,O)= c(0,0)=0
s(O,k)= c(0,k)=0
s(k,O)= c(k,0)=0
Что из ниже перечисленного является формулой числа Стирлинга второго рода?
S(n,k)= 1/k! ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j)
S(n,k)= 1/k! ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j) j^n
S(n,k)=∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j) j^n
Что из ниже перечисленного является формулой числа Стирлинга первого рода (со
знаком)?
(x)_n=(x-1)(x-2)∙∙∙(x-n+1)
(x)_n=x(x-1)(x-2)∙∙(x-n)
(x)_n=x(x-1)(x-2)∙∙∙(x-n+1)
Что характеризует функция потерь?
Тип ответа: Одиночный выбор
ошибку данных на наборе наблюдаемых позиций
ошибку прогноза на наборе наблюдаемых данных
ошибку скорости изменения наблюдаемых данных
Производная функция - это ...
Тип ответа: Одиночный выбор
скорость изменения функции в данной точке
составляющая переменной
соблюдение размещения
Определенный интеграл применяется тогда, когда мы ...
Тип ответа: Одиночный выбор
собираемся найти площадь под кривой
собираемся найти ошибку прогноза
собираемся найти скорость максимального изменения функции
Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражения?
Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражениия?
f(x,b)=b+b_1 x_1+b_2 x_2 +_....+bx
Что из нижеперечисленного является формулой интеграла?
Что из ниже перечисленного является формулой сочетания с повторениями?
{C} _n^k=(n+k-1)!/(k!*(n-1)!)
Что из ниже перечисленного обозначает символ Похгаммера?
Что из нижеперечисленного является формулой нахождения градиента?
Что из нижеперечисленного является формулой тригонометрической функции?
Что из нижеперечисленного является формулой неопределенного интеграла?
Что из ниже перечисленного является формулой факториала?
Что из нижеперечисленного является формулой определенного интеграла?
Что из ниже перечисленного является формулой производной разности двух
функций?
Что из нижеперечисленного является формулой интегрирования?
Что из нижеперечисленного является формулой расчёта функции потерь?...
1. Что понимается под объектом моделирования?
2. Что такое гипотеза в моделировании?
3. Дайте определение модели.
4. Что такое математическая модель?
5. Приведите пример аналогии в физических процессах.
6. Дайте классификацию процессов как объектов моделирования.
7. Чем отличаются стохастические процессы от детерминированных?
8. Опишите постановку задачи моделирования в общем виде.
9. Дайте общую классификацию математических моделей.
10. Какова структура модели математического программирования?
11. Что понимают под структурно-параметрическим описанием объекта моделирования?
12. В чем состоит различие между линейными и нелинейными моделями?
13. В каких случаях используется корреляционный коэффициент, а в каких − корреляционное отношение как критерий адекватности модели?
14. Дайте классификацию моделируемых процессов по характеру их протекания.
15. Перечислите основные этапы построения математической модели.
16. Опишите метод активного и пассивного эксперимента. Чем они отличаются?
17. Какой математический аппарат используется при синтезе математических моделей детерминированных процессов?
18. Какие системы относят к системам с распределенными параметрами?
19. Что такое сплошная среда?
20. Каким уравнением в частных производных моделируется процесс теплопереноса?
21. В чем состоит идея метода аналогий?
22. Опишите экспериментально-статистический метод моделирования.
23. Модели каких процессов описываются дифференциальными уравнениями?
24. Сформулируйте, в чем заключается задача регрессионного анализа.
25. Какую величину называют случайной? Опишите основные типы случайных величин.
26. Что такое закон распределения случайной величины?
27. Назовите виды регрессионных зависимостей.
28. Какая характеристика служит для оценки качества линейной модели? Какие она может принимать значения?
29. Опишите суть метода наименьших квадратов.
30. Какая характеристика служит для оценки качества нелинейной модели? Какие она может принимать значения?
31. Что такое корреляция? Какие виды корреляции вы знаете?
32. Как строится линия регрессии?
33. Опишите метод построения гистограммы.
34. В чем заключается содержательный анализ остатков модели?
35. Сформулируйте задачу безусловной оптимизации.
36. Каковы необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах одномерной безусловной оптимизации?
37. В чем состоит свойство унимодальности функций?
38. Сформулируйте утверждение, на которое опираются все методы одномерной минимизации.
39. Опишите алгоритм, позволяющий найти начальный отрезок локализации минимума.
40. Назовите преимущества и недостатки методов дихотомии, Фибоначчи и золотого сечения.
41. В чем состоит суть интерполяционных методов минимизации?
42. Дайте определение направления убывания. Сформулируйте необходимые и достаточные условия направления убывания.
43. В чем состоит общая идея методов спуска? Укажите хотя бы один метод, являющийся методом спуска.
44. Что такое моно- и мультимодальные функции?
45. Определите хотя бы один отрезок унимодальности функции f (x) = x − 2x2 + 0,2x5.
46. Минимизируйте функцию ƒ(х) = 3х2 + 12/х3 − 5 на отрезке 0,5 ≤ х ≤ 2,5, используя
а) метод дихотомии, б) метод золотого сечения, в) метод Фибоначчи, г) метод парабол. В каждом случае проведите по четыре вычисления значений функции. Сравните результирующие отрезки локализации минимума.
47. Дана функция Розенброка ƒ(х) = 100(х2 − (х1)2)2 + (1 − х1)2 и начальная точка
х(0) = (−1, 2; 0). Найдите точку локального минимума этой функции, пользуясь методом покоординатного спуска, с точностью до 0,2.
48. В процессе поиска точки минимума функции Розенброка (см. предыдущее упражнение) получены две первые точки х(0) = (−1,2; 1), х(1) = (−1,3; 1,07). Определите направление поиска из точки х(1), пользуясь следующими градиентными методами: а) методом наискорейшего спуска, б) методом Ньютона.
49. Сформулируйте общую задачу оптимизации.
50. Дайте определение следующих понятий: целевая функция, допустимое множество, допустимая точка, решение задачи оптимизации.
51. Перечислите основные этапы реализации оптимизационной задачи.
52. Охарактеризуйте основные направления применения методов оптимизации в инженерной деятельности.
53. Приведите примеры оптимизационных задач из практики.
54. Дайте классификацию задач оптимизации.
55. В чем отличие локального минимума от глобального? Проиллюстрируйте примером.
56. Дайте определение строгого минимума.
57. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о существовании решения задачи оптимизации.
58. Что понимается под характеристиками задачи оптимизации?
59. В чем состоит общая суть всех критериев оптимальности допустимой точки?
60. Укажите все глобальные и локальные экстремумы (если они существуют) следующих функций: а) f = (2 − x)(x + 1)2; б) f = ln(x2 + 1); в) f = x − 2sinx2.
61. Сформулируйте общую задачу линейного программирования.
62. Чем отличается основная задача линейного программирования от общей?
63. Чем отличается общая задача линейного программирования от канонической?
64. Всегда ли общую задачу линейного программирования можно привести к канонической форме? Опишите метод приведения общей задачи к каноническому виду.
65. Какие ограничения называют жесткими (нежесткими)?
66. Приведите примеры существенных и несущественных ограничений.
67. Чем отличается выпуклый многогранник от выпуклого многогранного множества?
68. Дайте определение угловой точки выпуклого многогранного множества.
69. Сформулируйте основную теорему линейного программирования.
70. В чем заключается первая геометрическая интерпретация задачи линейного программирования?
71. В чем состоит идея геометрического метода решения задачи линейного программирования? Для каких задач он применим?
72. В чем заключается вторая геометрическая интерпретация задачи линейного программирования?
73. Дайте определения следующих понятий: опорная точка (опорный план) допустимого множества, базис опорной точки, базисные переменные.
74. Дайте определение двойственной задачи линейного программирования.
75. Каким свойством обладает отношение двойственности?
76. Перечислите основные свойства пары двойственных задач (теоремы двойственности).
77. Каково практическое значение теорем двойственности?
78. Какая из теорем двойственности является критерием оптимальности для задач линейного программирования и в чем ее суть?
79. Дайте содержательную формулировку и математическую постановку транспортной задачи?
80. Что такое условие баланса и какова его роль в транспортных задачах?
81. Сформулируйте задачу целочисленного линейного программирования.
82. Сформулируйте задачу о рюкзаке. К какому классу задач целочисленного программирования она относится?
83. Сформулируйте задачу о коммивояжере. К какому классу задач целочисленного программирования она относится?
84. В чем состоит суть задачи раскроя?
85. Для каких оптимизационных задач применяется метод динамического программирования?
86. В чем заключается суть метода динамического программирования?
87. Сформулируйте принцип оптимальности Беллмана.
88. Дайте понятие идентификации в широком и узком смысле.
89. Опишите структурную схему процесса идентификации.
90. Что понимают под структурной идентификацией?
91. Перечислите методы структурной идентификации и дайте их краткое описание.
92. В чем состоит суть метода параметрической идентификации?
93. Охарактеризуйте особенности идентификации стохастических и динамических моделей.
94. Что является критерием идентичности модели и объекта?
95. Что такое адаптивная и неадаптивная идентификация?
96. Что является предметом структурной идентификации?
97. Какие задачи необходимо решить при выборе структуры объекта?
98. Какова цель параметрической идентификации?
99. Что такое функция локальной невязки?
100. Какие критерии могут быть использованы в качестве суммарной невязки?
101. При каком значении относительной невязки модель считается адекватной?
102. Перечислите источники возникновения и распространения погрешностей.
103. Приведите математическую модель процесса в общем виде.
...
1. Определение матрицы. Разновидности матриц. Арифметические действия над матрицами.
2. Определитель матрицы 2 ого и 3 его порядка. Способы их вычисление.
3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителей. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
4. Свойства определителей.
5. Решение систем уравнения методом Крамера.
6. Обратная матрица: определение, явная формула ее вычисления.
7. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
8. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду.
9. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы.
10. Совместимость и несовместимость систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
11. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Определенные и неопределенные системы.
12. Метод Жордана-Гаусса.
13. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Тривиальное решение. Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
14. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Длина вектора.
15. Линейные операции над векторами в геометрической и в координатной формах.
16. Коллинеарность векторов. Условие коллинеарности векторов.
17. Деление отрезка в заданном отношении.
18. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатах.
19. Угол между векторами. Условие перпендикулярности векторов.
20. Понятие правой тройки векторов.
21. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатах.
22. Геометрический смысл модуля векторного произведение векторов.
23. Смешанное произведение векторов: определение, вычисление в координатах.
24. Геометрический смысл смешанного произведения трех нулевых векторов.
25. Компланарность векторов. Условие компланарности векторов.
26. Понятие функции. Способы задания функции.
27. Основные свойства функций.
28. Понятие предела функции.
29. Теоремы о пределах.
30. Понятие бесконечно большой и бесконечно малой функций и их взаимосвязь. Свойства бесконечно малых функций.
31. Арифметические операции над пределами.
32. Эквивалентные функции. Первый замечательный предел. Таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение.
33. Второй замечательный предел.
34. Определение непрерывной функции. Классификация точек разрыва.
35. Определение производной функции. Пример нахождения производной по определению.
36. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
37. Определение дифференцируемой функции. Дифференциал: определение, геометрический смысл.
38. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
39. Правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование.
40. Производная второго порядка. Дифференциал второго порядка.
41. Параметрическая функция. Производные 1 ого и 2 ого порядков параметрической функции.
42. Неявная функция. Производные 1ого и 2ого порядка функции, заданной неявно.
43. Первое и второе правила Лопиталя. Примеры вычисления пределов по правилу Лопиталя. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
44. Монотонность функции.
45. Локальные экстремумы. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.
46. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
47. Понятие выпуклости и вогнутости функции.
48. Признак выпуклости (вогнутости) функции. Перегибы. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.
49. Определение асимптоты функции. Разновидности асимптот. Теорема о существовании наклонной асимптоты функции.
...
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
8. Система m линейных уравнений с nпеременными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.
9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы mлинейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.
14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
19. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.
21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.
22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.
23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).
24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.
...
1. Понятие матрицы. Свойства матрицы, виды матриц.
2. Действия над матрицами.
3. Обратная матрица. Минор матрицы, дополнения.
4. Определитель. Свойства определителя. Методы вычисления определителя.
5. Метод Крамера для решения систем линейных уравнений.
6. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
7. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений.
8. Понятие числовой функции. Способы задания функции. Обратная функция. Сложная функция. Приращение аргумента, приращение функции, область определения и область значения функции.
9. Предел и непрерывность функции. Свойства пределов. Замечательные пределы. Неопределённость. Виды неопределённости. Правило Лопиталя.
10. Предел и непрерывность функции. Виды разрывов функции. Асимптоты кривой.
11. Элементарные функции, их свойства и графики.
12. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
13. Производная высших порядков. Механический смысл производной первого и второго порядка.
14. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции. Применение дифференциала к приближённым вычислениям.
15. Экстремум I рода. Теорема Ферма. 1 и 2 условия существования экстремума I рода. Теорема о промежутках возрастания (убывания)функции.
16. Экстремум II рода. Необходимое и достаточное условие существования экстремума II рода. Свойства точки перегиба. Теорема о промежутках выпуклости (вогнутости) функции.
17. Полная схема исследования функции и построения её графика.
18. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величины.
19. Первообразная. Основное свойство первообразной. Неопределённый интеграл и его свойства.
20. Методы интегрирования.
21. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определённого интеграла.
22. Применение определённого интеграла для решения геометрических задач по вычислению площади криволинейной трапеции, объёма фигуры вращения.
23. Теоремы сложения и умножения вероятностей произвольных событий.
24. Основные понятия, испытания и события, виды случайных событий. Вероятность события.
25. Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания).
...
